Giải Bài 49, 50, 51 trang 215, 216 Đại số 10 Nâng cao: Một số công thức lượng giác

Bài 4 Một số công thức lượng giác. Giải bài 49, 50, 51 trang 215, 216 SGK Đại số lớp 10 Nâng cao. Chứng minh rằng giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào x; Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:

Bài 49: Chứng minh rằng giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a) \(co{s^2}\left( {\alpha {\rm{ }} + x} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}x{\rm{ }} – {\rm{ }}2cos\alpha {\rm{ }}cosx.cos\left( {\alpha {\rm{ }} + x} \right);\)

Bạn đang xem: Giải Bài 49, 50, 51 trang 215, 216 Đại số 10 Nâng cao: Một số công thức lượng giác

b) \(sin4x.sin10x – sin11x.sin3x – sin7x.sinx\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& co{s^2}\left( {\alpha + x} \right) + co{s^2}x – 2cos\alpha {\rm{ }}cosx.cos\left( {\alpha + x} \right) \cr
& = \cos (\alpha + x){\rm{[}}\cos (\alpha + x) – 2\cos \alpha \cos x {\rm{] + co}}{{\rm{s}}^2}x \cr
& = \cos (\alpha + x)( – \cos \alpha \cos x- \sin \alpha \sin x ) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x \cr
& = – \cos (\alpha + x)cos(\alpha – x) + {\cos ^2}x \cr
& = – {1 \over 2}(cos2\alpha + \cos 2x) + {\cos ^2}x \cr
& = – {1 \over 2}\cos 2\alpha – {{\cos 2x} \over 2} + {\cos ^2}x = – {1 \over 2}\cos 2\alpha + {1 \over 2} \cr
& = {\sin ^2}\alpha \cr} \)

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào x.

b) Ta có:

\(\eqalign{
& sin4x.sin10x – sin11x.sin3x – sin7x.sinx \cr
& = {1 \over 2}(cos6x – \cos 14x) – {1 \over 2}(cos8x – \cos 14x) \cr&- {1 \over 2}(cos6x – \cos 8x) \cr
& = 0 \cr} \)

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào x.

Bài 50: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:

a) \(sinA = cosB + cosC\) thì ΔABC vuông

b) \(sinA = 2sinB.cosC\) thì ΔABC cân

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& sinA = cosB + cosC\cr& \Rightarrow \sin A = 2\cos {{B + C} \over 2}\cos {{B – C} \over 2} \cr
& \Leftrightarrow 2\sin {A \over 2}(cos{A \over 2} – \cos {{B – C} \over 2}) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos {A \over 2} = \cos {{B – C} \over 2}\;(\sin{A \over 2} \ne 0\,do\,0 < A < \pi ) \cr} \)

Nhưng: \(0 < {A \over 2} < {\pi  \over 2};|{{B – C} \over 2}|\, < {\pi  \over 2}\) , nên:

\(\cos {A \over 2} = \cos {{B – C} \over 2} \Leftrightarrow {A \over 2} = |{{B – C} \over 2}|\, \Leftrightarrow A = |B – C|\)

+ Nếu B > C thì A = B – C. Suy ra: \(S = {\pi  \over 2}\)

+ Nếu B < C thì A = C – B. Suy ra: \(C = {\pi  \over 2}\)

b) \(sinA = 2sinB.cosC \)

\(⇔ sin A = sin (B + C) + sin (B – C)\)

\(⇔ sin A = sin(π – A) + sin(B – C) \)

\(⇔ sin(B – C) = 0\)

Vì \(0 ≤ |B – C| ≤ π\), nên \(B – C = 0\)

Vậy tam giác ABC cân tại A.

---

Bài 51: Chứng minh rằng nếu \(∝ + β + γ = π\) thì

a) \(\sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma  = 4\cos {\alpha  \over 2}\cos {\beta  \over 2}\cos {\gamma  \over 2}\)

b) \(\cos \alpha  + \cos \beta  + \cos \gamma  = 1 + 4\sin {\alpha  \over 2}\sin {\beta  \over 2}\sin {\gamma  \over 2}\)

c) \(sin2∝ + sin2β + sin2γ = 4sin∝ sinβ sin γ\)

d) \(co{s^2} \propto + {\rm{ }}co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma {\rm{ }}= 1 – 2cos∝ cosβ cosγ\)

 Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma\cr& = \sin \alpha + 2\sin {{\beta + \gamma } \over 2}\cos {{\beta – \gamma } \over 2} \cr
& = \sin \alpha + 2\sin {{\pi – \alpha } \over 2}\cos {{\beta – \gamma } \over 2} \cr&= 2\sin {\alpha \over 2}\cos {\alpha \over 2} + 2\cos {\alpha \over 2}  \cos {{\beta – \gamma } \over 2} \cr
& = 2\cos {\alpha \over 2}(\sin {\alpha \over 2} + \cos {{\beta – \gamma } \over 2})\cr& = 2\cos {\alpha \over 2}{\rm{[sin}}{{\pi – (\beta + \gamma )} \over 2} + \cos{{\beta – \gamma } \over 2}{\rm{]}} \cr
& = 2\cos {\alpha \over 2}(cos{{\beta + \gamma } \over 2} + \cos {{\beta – \gamma } \over 2}) \cr
& =4\cos {\alpha \over 2}\cos {\beta \over 2}\cos {\gamma \over 2} \cr} \)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \cr&= 2\cos {{\alpha + \beta } \over 2}\cos {{\alpha – \beta } \over 2} + 1 – 2\sin {{2\gamma } \over 2} \cr
& = 2\cos ({\pi \over 2} – {\gamma \over 2})cos{{\alpha – \beta } \over 2} + 1 – 2{\sin ^2}{\gamma \over 2} \cr&= 1 + 2\sin {\gamma \over 2}(cos{{\alpha – \beta } \over 2} – \sin {\gamma \over 2}) \cr
& = 1 + 2\sin {\gamma \over 2}(cos{{\alpha – \beta } \over 2} – cos{{\alpha + \beta } \over 2}) \cr
& = 1 + 4\sin {\alpha \over 2}\sin {\beta \over 2}\sin {\gamma \over 2} \cr} \)

c) \(sin2∝ + sin2β + sin2γ\)

\(= 2sin (∝ + β)cos(∝ – β ) + 2sinγcosγ\)

\(= 2sinγ (cos(∝ – β ) – cos(∝ + β)) \)

\(= 4sin∝ sinβ sin γ\)

d) Ta có:

\(\eqalign{
& co{s^2} \propto + {\rm{ }}co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma {\rm{ }} \cr
& {\rm{ = }}{{1 + \cos 2\alpha } \over 2} + {{1\cos 2\beta } \over 2} + {\cos ^2}\gamma \cr
& = 1 + {1 \over 2}(cos2\alpha + \cos 2\beta ) + {\cos ^2}\gamma \cr
& = 1 + \cos (\alpha + \beta )cos(\alpha – \beta ) + {\cos ^2}\gamma \cr
& = 1 + \cos \gamma (\cos \gamma – \cos (\alpha – \beta )) \cr&= 1 – \cos \gamma {\rm{[cos(}}\alpha {\rm{ + }}\beta {\rm{) + cos(}}\alpha {\rm{ – }}\beta ){\rm{]}} \cr
& = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}2cos \propto {\rm{ }}cos\beta {\rm{ }}cos\gamma \cr} \)

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 49, 50, 51 trang 215, 216 Đại số 10 Nâng cao: Một số công thức lượng giác” state=”close”]Bài 4 Một số công thức lượng giác. Giải bài 49, 50, 51 trang 215, 216 SGK Đại số lớp 10 Nâng cao. Chứng minh rằng giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào x; Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:

Bài 49: Chứng minh rằng giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a) \(co{s^2}\left( {\alpha {\rm{ }} + x} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}x{\rm{ }} – {\rm{ }}2cos\alpha {\rm{ }}cosx.cos\left( {\alpha {\rm{ }} + x} \right);\)

b) \(sin4x.sin10x – sin11x.sin3x – sin7x.sinx\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& co{s^2}\left( {\alpha + x} \right) + co{s^2}x – 2cos\alpha {\rm{ }}cosx.cos\left( {\alpha + x} \right) \cr
& = \cos (\alpha + x){\rm{[}}\cos (\alpha + x) – 2\cos \alpha \cos x {\rm{] + co}}{{\rm{s}}^2}x \cr
& = \cos (\alpha + x)( – \cos \alpha \cos x- \sin \alpha \sin x ) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x \cr
& = – \cos (\alpha + x)cos(\alpha – x) + {\cos ^2}x \cr
& = – {1 \over 2}(cos2\alpha + \cos 2x) + {\cos ^2}x \cr
& = – {1 \over 2}\cos 2\alpha – {{\cos 2x} \over 2} + {\cos ^2}x = – {1 \over 2}\cos 2\alpha + {1 \over 2} \cr
& = {\sin ^2}\alpha \cr} \)

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào x.

b) Ta có:

\(\eqalign{
& sin4x.sin10x – sin11x.sin3x – sin7x.sinx \cr
& = {1 \over 2}(cos6x – \cos 14x) – {1 \over 2}(cos8x – \cos 14x) \cr&- {1 \over 2}(cos6x – \cos 8x) \cr
& = 0 \cr} \)

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào x.

Bài 50: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:

a) \(sinA = cosB + cosC\) thì ΔABC vuông

b) \(sinA = 2sinB.cosC\) thì ΔABC cân

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& sinA = cosB + cosC\cr& \Rightarrow \sin A = 2\cos {{B + C} \over 2}\cos {{B – C} \over 2} \cr
& \Leftrightarrow 2\sin {A \over 2}(cos{A \over 2} – \cos {{B – C} \over 2}) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos {A \over 2} = \cos {{B – C} \over 2}\;(\sin{A \over 2} \ne 0\,do\,0 < A < \pi ) \cr} \)

Nhưng: \(0 < {A \over 2} < {\pi  \over 2};|{{B – C} \over 2}|\, < {\pi  \over 2}\) , nên:

\(\cos {A \over 2} = \cos {{B – C} \over 2} \Leftrightarrow {A \over 2} = |{{B – C} \over 2}|\, \Leftrightarrow A = |B – C|\)

+ Nếu B > C thì A = B – C. Suy ra: \(S = {\pi  \over 2}\)

+ Nếu B < C thì A = C – B. Suy ra: \(C = {\pi  \over 2}\)

b) \(sinA = 2sinB.cosC \)

\(⇔ sin A = sin (B + C) + sin (B – C)\)

\(⇔ sin A = sin(π – A) + sin(B – C) \)

\(⇔ sin(B – C) = 0\)

Vì \(0 ≤ |B – C| ≤ π\), nên \(B – C = 0\)

Vậy tam giác ABC cân tại A.

---

Bài 51: Chứng minh rằng nếu \(∝ + β + γ = π\) thì

a) \(\sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma  = 4\cos {\alpha  \over 2}\cos {\beta  \over 2}\cos {\gamma  \over 2}\)

b) \(\cos \alpha  + \cos \beta  + \cos \gamma  = 1 + 4\sin {\alpha  \over 2}\sin {\beta  \over 2}\sin {\gamma  \over 2}\)

c) \(sin2∝ + sin2β + sin2γ = 4sin∝ sinβ sin γ\)

d) \(co{s^2} \propto + {\rm{ }}co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma {\rm{ }}= 1 – 2cos∝ cosβ cosγ\)

 Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma\cr& = \sin \alpha + 2\sin {{\beta + \gamma } \over 2}\cos {{\beta – \gamma } \over 2} \cr
& = \sin \alpha + 2\sin {{\pi – \alpha } \over 2}\cos {{\beta – \gamma } \over 2} \cr&= 2\sin {\alpha \over 2}\cos {\alpha \over 2} + 2\cos {\alpha \over 2}  \cos {{\beta – \gamma } \over 2} \cr
& = 2\cos {\alpha \over 2}(\sin {\alpha \over 2} + \cos {{\beta – \gamma } \over 2})\cr& = 2\cos {\alpha \over 2}{\rm{[sin}}{{\pi – (\beta + \gamma )} \over 2} + \cos{{\beta – \gamma } \over 2}{\rm{]}} \cr
& = 2\cos {\alpha \over 2}(cos{{\beta + \gamma } \over 2} + \cos {{\beta – \gamma } \over 2}) \cr
& =4\cos {\alpha \over 2}\cos {\beta \over 2}\cos {\gamma \over 2} \cr} \)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \cr&= 2\cos {{\alpha + \beta } \over 2}\cos {{\alpha – \beta } \over 2} + 1 – 2\sin {{2\gamma } \over 2} \cr
& = 2\cos ({\pi \over 2} – {\gamma \over 2})cos{{\alpha – \beta } \over 2} + 1 – 2{\sin ^2}{\gamma \over 2} \cr&= 1 + 2\sin {\gamma \over 2}(cos{{\alpha – \beta } \over 2} – \sin {\gamma \over 2}) \cr
& = 1 + 2\sin {\gamma \over 2}(cos{{\alpha – \beta } \over 2} – cos{{\alpha + \beta } \over 2}) \cr
& = 1 + 4\sin {\alpha \over 2}\sin {\beta \over 2}\sin {\gamma \over 2} \cr} \)

c) \(sin2∝ + sin2β + sin2γ\)

\(= 2sin (∝ + β)cos(∝ – β ) + 2sinγcosγ\)

\(= 2sinγ (cos(∝ – β ) – cos(∝ + β)) \)

\(= 4sin∝ sinβ sin γ\)

d) Ta có:

\(\eqalign{
& co{s^2} \propto + {\rm{ }}co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma {\rm{ }} \cr
& {\rm{ = }}{{1 + \cos 2\alpha } \over 2} + {{1\cos 2\beta } \over 2} + {\cos ^2}\gamma \cr
& = 1 + {1 \over 2}(cos2\alpha + \cos 2\beta ) + {\cos ^2}\gamma \cr
& = 1 + \cos (\alpha + \beta )cos(\alpha – \beta ) + {\cos ^2}\gamma \cr
& = 1 + \cos \gamma (\cos \gamma – \cos (\alpha – \beta )) \cr&= 1 – \cos \gamma {\rm{[cos(}}\alpha {\rm{ + }}\beta {\rm{) + cos(}}\alpha {\rm{ – }}\beta ){\rm{]}} \cr
& = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}2cos \propto {\rm{ }}cos\beta {\rm{ }}cos\gamma \cr} \)

[/toggle]