Giải Bài 13, 14, 15, 16 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao: Giải Bài ôn tập cuối năm

Bài ôn tập cuối năm. Giải bài 13, 14, 15, 16 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao. Giải bài tập trang 222 Bài ôn tập cuối năm SGK Đại số 10 Nâng cao. Câu 13: Chứng minh rằng; Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

Bài 13: Chứng minh rằng:

a) \({{{a^2} + 6} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} \ge 4\,\,\,\,(a \in R)\)

Bạn đang xem: Giải Bài 13, 14, 15, 16 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao: Giải Bài ôn tập cuối năm

b) \({{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}} \ge {a \over c} + {c \over b} + {b \over a}\,\,\,(a,\,b,\,c\, \in R)\)

Đáp án

a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\({{{a^2} + 6} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} = {{({a^2} + 2) + 4} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} = \sqrt {{a^2} + 2}  + {4 \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} \ge \)

\(2\sqrt {\sqrt {{a^2} + 2} .{4 \over {\sqrt {{a^2} + 2} }}}  = 4\)

b) Ta có:

 \({{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} \ge 2\sqrt {{{{a^2}} \over {{b^2}}}.{{{b^2}} \over {{c^2}}}}  = 2|{a \over c}|\, \ge {{2a} \over c}\)

Tương tự ta có:

\(\left\{ \matrix{
{{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}} \ge 2{b \over a} \hfill \cr
{{{c^2}} \over {{a^2}}} + {{{a^2}} \over {{b^2}}} \ge 2{c \over b} \hfill \cr} \right.\)

Từ đó suy ra: \(2({{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}}) \ge 2({a \over c} + {c \over b} + {b \over a})\)

---

Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) \(f(x) = x + {2 \over {x + 2}}\) trên khoảng \((-2; +∞)\)

b) \(g(x) = 3{x^2} + {1 \over x}\) trên khoảng \((0; +∞)\)

Đáp án

a) Áp dụng bất đẳg thức Cô-si, ta có:

\(f(x) = x + 2{2 \over {x + 2}} – 2 \ge 2\sqrt {(x + 2){2 \over {x + 2}}}  – 2 \)

                                                                     \(= 2\sqrt 2  – 2\)

Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi:

\(x + 2 = {2 \over {x + 2}} \Leftrightarrow {(x + 2)^2} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \sqrt 2 – 2 \hfill \cr
x = – \sqrt 2 – 2 \hfill \cr} \right.\)

b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số, ta có:

\(g(x) = 3{x^2} + {1 \over {2x}} + {1 \over {2x}} \ge 3\root 3 \of {3{x^2}.{1 \over {2x}}.{1 \over {2x}}}  = 3\root 3 \of {{3 \over 4}} \)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 3{x^2} = {1 \over {2x}} \Leftrightarrow x = \root 3 \of {{1 \over 6}} \)

Vậy: \(\min \,g(x) = 3\root 3 \of {{3 \over 4}}  \Leftrightarrow x = \root 3 \of {{1 \over 6}} \)

---

Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: \(f(x) = (2 – x)(2x + 1)\) trên \((-0,5; 2)\)

Đáp án

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Dấu “=” xảy ra khi \( \Leftrightarrow 4 – 2x = 2x + 1 \Leftrightarrow x = {3 \over 4}\)

Vậy \(\max \,f(x) = {{25} \over 8} \Leftrightarrow x = {3 \over 4}\)

---

Bài 16: Giải các hệ bất phương trình

a)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} – 4 > 0 \hfill \cr
{1 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}} \ge {1 \over x} \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + 3x + 2 < 0 \hfill \cr
{x \over {x + 1}} \ge 0 \hfill \cr} \right.\)

Đáp án

a) Ta giải từng bất phương trình trong hệ đã cho:

\({x^2} – 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < – 2 \hfill \cr
x > 2 \hfill \cr} \right.\)

Tập nghiệm là S₁= \( (-∞; -2) ∪ (2, +∞)\)

\(\eqalign{
& {1 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}} \ge {1 \over x}\cr& \Leftrightarrow {{x(x + 2) + x(x + 1) – (x + 1)(x – 2)} \over {x(x + 1)(x + 2)}} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{{x^2} – 2} \over {x(x + 1)(x + 2)}} \ge 0 \cr} \)

Lập bảng xét dấu:

Vậy \({S_2} = ( – 2; – \sqrt 2 {\rm{]}}\, \cup \,( – 1,0)\, \cup \,{\rm{[}}\sqrt 2 , + \infty )\)

Từ đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là: S = S₁ ∩ S₂ = \((2, +∞)\)

b) Ta có:

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + 3x + 2 < 0 \hfill \cr
{x \over {x + 1}} \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 2 < x < – 1 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x < – 1 \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow – 2 < x < 1\)

Vậy \(S = (-2, -1)\)

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 13, 14, 15, 16 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao: Bài ôn tập cuối năm” state=”close”]Bài ôn tập cuối năm. Giải bài 13, 14, 15, 16 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao. Giải bài tập trang 222 Bài ôn tập cuối năm SGK Đại số 10 Nâng cao. Câu 13: Chứng minh rằng; Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

Bài 13: Chứng minh rằng:

a) \({{{a^2} + 6} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} \ge 4\,\,\,\,(a \in R)\)

b) \({{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}} \ge {a \over c} + {c \over b} + {b \over a}\,\,\,(a,\,b,\,c\, \in R)\)

Đáp án

a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\({{{a^2} + 6} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} = {{({a^2} + 2) + 4} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} = \sqrt {{a^2} + 2}  + {4 \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} \ge \)

\(2\sqrt {\sqrt {{a^2} + 2} .{4 \over {\sqrt {{a^2} + 2} }}}  = 4\)

b) Ta có:

 \({{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} \ge 2\sqrt {{{{a^2}} \over {{b^2}}}.{{{b^2}} \over {{c^2}}}}  = 2|{a \over c}|\, \ge {{2a} \over c}\)

Tương tự ta có:

\(\left\{ \matrix{
{{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}} \ge 2{b \over a} \hfill \cr
{{{c^2}} \over {{a^2}}} + {{{a^2}} \over {{b^2}}} \ge 2{c \over b} \hfill \cr} \right.\)

Từ đó suy ra: \(2({{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}}) \ge 2({a \over c} + {c \over b} + {b \over a})\)

---

Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) \(f(x) = x + {2 \over {x + 2}}\) trên khoảng \((-2; +∞)\)

b) \(g(x) = 3{x^2} + {1 \over x}\) trên khoảng \((0; +∞)\)

Đáp án

a) Áp dụng bất đẳg thức Cô-si, ta có:

\(f(x) = x + 2{2 \over {x + 2}} – 2 \ge 2\sqrt {(x + 2){2 \over {x + 2}}}  – 2 \)

                                                                     \(= 2\sqrt 2  – 2\)

Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi:

\(x + 2 = {2 \over {x + 2}} \Leftrightarrow {(x + 2)^2} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \sqrt 2 – 2 \hfill \cr
x = – \sqrt 2 – 2 \hfill \cr} \right.\)

b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số, ta có:

\(g(x) = 3{x^2} + {1 \over {2x}} + {1 \over {2x}} \ge 3\root 3 \of {3{x^2}.{1 \over {2x}}.{1 \over {2x}}}  = 3\root 3 \of {{3 \over 4}} \)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 3{x^2} = {1 \over {2x}} \Leftrightarrow x = \root 3 \of {{1 \over 6}} \)

Vậy: \(\min \,g(x) = 3\root 3 \of {{3 \over 4}}  \Leftrightarrow x = \root 3 \of {{1 \over 6}} \)

---

Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: \(f(x) = (2 – x)(2x + 1)\) trên \((-0,5; 2)\)

Đáp án

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Dấu “=” xảy ra khi \( \Leftrightarrow 4 – 2x = 2x + 1 \Leftrightarrow x = {3 \over 4}\)

Vậy \(\max \,f(x) = {{25} \over 8} \Leftrightarrow x = {3 \over 4}\)

---

Bài 16: Giải các hệ bất phương trình

a)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} – 4 > 0 \hfill \cr
{1 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}} \ge {1 \over x} \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + 3x + 2 < 0 \hfill \cr
{x \over {x + 1}} \ge 0 \hfill \cr} \right.\)

Đáp án

a) Ta giải từng bất phương trình trong hệ đã cho:

\({x^2} – 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < – 2 \hfill \cr
x > 2 \hfill \cr} \right.\)

Tập nghiệm là S₁= \( (-∞; -2) ∪ (2, +∞)\)

\(\eqalign{
& {1 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}} \ge {1 \over x}\cr& \Leftrightarrow {{x(x + 2) + x(x + 1) – (x + 1)(x – 2)} \over {x(x + 1)(x + 2)}} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{{x^2} – 2} \over {x(x + 1)(x + 2)}} \ge 0 \cr} \)

Lập bảng xét dấu:

Vậy \({S_2} = ( – 2; – \sqrt 2 {\rm{]}}\, \cup \,( – 1,0)\, \cup \,{\rm{[}}\sqrt 2 , + \infty )\)

Từ đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là: S = S₁ ∩ S₂ = \((2, +∞)\)

b) Ta có:

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + 3x + 2 < 0 \hfill \cr
{x \over {x + 1}} \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 2 < x < – 1 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x < – 1 \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow – 2 < x < 1\)

Vậy \(S = (-2, -1)\)

[/toggle]