Giải Bài 48, 49 trang 100 Đại số 10 nâng cao: Một số ví dụ về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 5 Một số ví dụ về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải bài 48, 49 trang 100 SGK Đại số lớp 10 nâng cao. Giải các hệ phương trình sau; Tìm hàm số bậc hai y = f(x) thỏa mãn các điều kiện sau :
Bài 48: Giải các hệ phương trình sau:
a)
Bạn đang xem: Giải Bài 48, 49 trang 100 Đại số 10 nâng cao: Một số ví dụ về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} = 208 \hfill \cr
xy = 96 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} – {y^2} = 55 \hfill \cr
xy = 24 \hfill \cr} \right.\)
a) Đặt \(S = x + y; P = xy\)
Ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
{S^2} – 2P = 208 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} = 400 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 20 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = – 20 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
+ Với \(S = 20, P = 96\) thì x, y là nghiệm phương trình:
\({X^2} – 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 8 \hfill \cr
X = 12 \hfill \cr} \right.\)
Ta có nghiệm \((8, 12)\) và \((12, 8)\)
+ Với \(S = -20, P = 96\) thì x, y là nghiệm phương trình:
\({X^2} + 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = – 8 \hfill \cr
X = – 12 \hfill \cr} \right.\)
Ta có nghiệm \((-8, -12)\) và \((-12, -8)\)
Vậy hệ có 4 nghiệm : \((8, 12); (12, 8); (-8, -12); (-12, -8)\)
b) Thay \(y = {{24} \over x}\) vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có :
\({x^2} – {{576} \over {{x^2}}} = 55 \Leftrightarrow {x^4} – 55{x^2} – 576 = 0\)
Đặt \(t = x^2\;(t ≥ 0)\), ta có phương trình:
\({t^2} – 55t – 576 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 64 \hfill \cr
t = – 9\,\,\,(\text{loại}) \hfill \cr} \right.\)
\(t = 64 ⇔x^2= 64 ⇔ x = ± 8\)
Nếu \(x = 8 ⇒ y = 3\)
Nếu \(x = -8 ⇒ y = -3\)
Vậy hệ có hai nghiệm \((8;3)\) và \((-8;-3)\)
Bài 49: Tìm hàm số bậc hai y = f(x) thỏa mãn các điều kiện sau :
a) Parabol y = f(x) cắt trục tung tại điểm (0; -4)
b) f(2) = 6
c) Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 5
Giả sử:
f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
f(0) = -4 ⇒ c = -4
f(2) = 6 ⇒ 4a + 2b + c = 6 ⇒ 4a + 2b = 10 ⇒ 2a + b = 5 (1)
Ta có: (x1 – x2 )2 = 25 ⇔ S2 – 4P = 25
Với
\(\left\{ \matrix{
S = {x_1} + {x_2} = – {b \over a} \hfill \cr
P = {x_1}{x_2} = {c \over a} = {{ – 4} \over a} \hfill \cr} \right.\)
Do đó: \({{{b^2}} \over {{a^2}}} + {{16} \over a} = 25\)
\(\Leftrightarrow {b^2} + 16a = 25{a^2}\,\,\,\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
2a + b = 5 \hfill \cr
{b^2} + 16a = 25{a^2} \hfill \cr} \right.\)
Hay \(b = 5 – 2a\) vào (2), ta được:
\({(5 – 2a)^2} + 16a = 25{a^2} \Leftrightarrow 21{a^2} + 4a – 25 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
a = – {{25} \over {21}} \hfill \cr} \right.\)
Nếu \(a = 1 ⇒ b = 3\)
Nếu \(a = – {{25} \over {21}} \Rightarrow b = {{155} \over {21}}\)
Vậy hàm số \(y = x^2+ 3x – 4\) và \(y = – {{25} \over {21}}{x^2} + {{155} \over {21}}x – 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đăng bởi: Monica.vn
Chuyên mục: Giải bài tập
[toggle title=”Xem thêm Bài 48, 49 trang 100 Đại số 10 nâng cao: Một số ví dụ về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn” state=”close”]Bài 5 Một số ví dụ về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải bài 48, 49 trang 100 SGK Đại số lớp 10 nâng cao. Giải các hệ phương trình sau; Tìm hàm số bậc hai y = f(x) thỏa mãn các điều kiện sau :
Bài 48: Giải các hệ phương trình sau:
a)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} = 208 \hfill \cr
xy = 96 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} – {y^2} = 55 \hfill \cr
xy = 24 \hfill \cr} \right.\)
a) Đặt \(S = x + y; P = xy\)
Ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
{S^2} – 2P = 208 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} = 400 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 20 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = – 20 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
+ Với \(S = 20, P = 96\) thì x, y là nghiệm phương trình:
\({X^2} – 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 8 \hfill \cr
X = 12 \hfill \cr} \right.\)
Ta có nghiệm \((8, 12)\) và \((12, 8)\)
+ Với \(S = -20, P = 96\) thì x, y là nghiệm phương trình:
\({X^2} + 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = – 8 \hfill \cr
X = – 12 \hfill \cr} \right.\)
Ta có nghiệm \((-8, -12)\) và \((-12, -8)\)
Vậy hệ có 4 nghiệm : \((8, 12); (12, 8); (-8, -12); (-12, -8)\)
b) Thay \(y = {{24} \over x}\) vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có :
\({x^2} – {{576} \over {{x^2}}} = 55 \Leftrightarrow {x^4} – 55{x^2} – 576 = 0\)
Đặt \(t = x^2\;(t ≥ 0)\), ta có phương trình:
\({t^2} – 55t – 576 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 64 \hfill \cr
t = – 9\,\,\,(\text{loại}) \hfill \cr} \right.\)
\(t = 64 ⇔x^2= 64 ⇔ x = ± 8\)
Nếu \(x = 8 ⇒ y = 3\)
Nếu \(x = -8 ⇒ y = -3\)
Vậy hệ có hai nghiệm \((8;3)\) và \((-8;-3)\)
Bài 49: Tìm hàm số bậc hai y = f(x) thỏa mãn các điều kiện sau :
a) Parabol y = f(x) cắt trục tung tại điểm (0; -4)
b) f(2) = 6
c) Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 5
Giả sử:
f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
f(0) = -4 ⇒ c = -4
f(2) = 6 ⇒ 4a + 2b + c = 6 ⇒ 4a + 2b = 10 ⇒ 2a + b = 5 (1)
Ta có: (x1 – x2 )2 = 25 ⇔ S2 – 4P = 25
Với
\(\left\{ \matrix{
S = {x_1} + {x_2} = – {b \over a} \hfill \cr
P = {x_1}{x_2} = {c \over a} = {{ – 4} \over a} \hfill \cr} \right.\)
Do đó: \({{{b^2}} \over {{a^2}}} + {{16} \over a} = 25\)
\(\Leftrightarrow {b^2} + 16a = 25{a^2}\,\,\,\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
2a + b = 5 \hfill \cr
{b^2} + 16a = 25{a^2} \hfill \cr} \right.\)
Hay \(b = 5 – 2a\) vào (2), ta được:
\({(5 – 2a)^2} + 16a = 25{a^2} \Leftrightarrow 21{a^2} + 4a – 25 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
a = – {{25} \over {21}} \hfill \cr} \right.\)
Nếu \(a = 1 ⇒ b = 3\)
Nếu \(a = – {{25} \over {21}} \Rightarrow b = {{155} \over {21}}\)
Vậy hàm số \(y = x^2+ 3x – 4\) và \(y = – {{25} \over {21}}{x^2} + {{155} \over {21}}x – 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
[/toggle]
