Cho hàm số (gleft( x right) = {x^2} + 1) và hàm số (fleft( x right) = {x^3} – 3{x^2} + 1.) Tìm m để phương trình (fleft[ {gleft( x right)} right] – m = 0) có 4 nghiệm phân biệt.

Câu hỏi:

Cho hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} + 1\) và hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 3{x^2} + 1.\) Tìm m để phương trình \(f\left[ {g\left( x \right)} \right] – m = 0\) có 4 nghiệm phân biệt.

A.
\( – 3 < m \le  - 1.\)

B.
\( – 3 \le m \le  – 1.\)

C.
m > – 1

D.
– 3 < m < - 1

Đáp án đúng: D

Bạn đang xem: Cho hàm số (gleft( x right) = {x^2} + 1) và hàm số (fleft( x right) = {x^3} – 3{x^2} + 1.) Tìm m để phương trình (fleft[ {gleft( x right)} right] – m = 0) có 4 nghiệm phân biệt.

Ta có \(m = f\left[ {g\left( x \right)} \right] = {\left( {{x^2} + 1} \right)^3} – 3{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + 1 = {x^6} – 3{x^2} – 1 = h\left( x \right).\)

Đạo hàm \(h’\left( x \right) = 6{x^5} – 6x = 0;{\rm{ }}h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  \pm 1
\end{array} \right..\)

Bảng biến thiên như hình trên. Yêu cầu bài toán \( \to  – 3 < m <  - 1.\)