Cho hàm số (y = sqrt {{x^2} + 2}  – ln x) trên đoạn [1;2].

Câu hỏi:

Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 2}  – \ln x\) trên đoạn [1;2]. Giá trị nhỏ nhất của hàm số có dạng \(a + b\ln a\), với \(b \in Q\) và a là số nguyên tố. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
a = – 4b

B.
a < b

C.
\({a^2} + {b^2} = 10\)

D.
\({a^2} < 9b\)

Đáp án đúng: A

Bạn đang xem: Cho hàm số (y = sqrt {{x^2} + 2}  – ln x) trên đoạn [1;2].

Xét trên [1;2] hàm số liên tục.

\(\begin{array}{l}
y’ = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} – \frac{1}{x}\\
y’ = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2}  = {x^2}\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} =  – 1\\
{x^2} = 2
\end{array} \right. \Rightarrow x = \sqrt 2  \in \left[ {1;2} \right]\\
y\left( 1 \right) = \sqrt 3 ;y\left( 2 \right) = \sqrt 6  – \ln 2\\
y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2 – \frac{1}{2}\ln 2
\end{array}\)

Nên \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} {\mkern 1mu} y = y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2 – \frac{1}{2}\ln 2\)

Và \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} {\mkern 1mu} y = y\left( 2 \right) = \sqrt 6  – \ln 2\)