Giải bài tập

Giải Bài 5, 6, 7, 8 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11: Đạo hàm của hàm số lượng giác

 Bài 3 Đạo hàm của hàm số lượng giác. Giải bài 5, 6, 7, 8 trang 169 Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Tính…; Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc \(x\

Bài 5: Tính \( \frac{f'(1)}{\varphi ‘(1)}\), biết rằng \(f(x) = x^2\) và \(φ(x) = 4x +sin \frac{\pi x}{2}\).

Bạn đang xem: Giải Bài 5, 6, 7, 8 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Ta có \(f'(x) = 2x\), suy ra \(f'(1) = 2\)

và \(φ'(x) = 4 +  \left ( \frac{\pi x}{2} \right )’. cos \frac{\pi x}{2} = 4 +  \frac{\pi }{2}. cos \frac{\pi x}{2}\), suy ra \(φ'(1) = 4\).

Vậy \( \frac{f'(1)}{\varphi ‘(1)}\) = \( \frac{2}{4}\) = \( \frac{1}{2}\).


Bài 6: Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc \(x\):

a) \(\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x\);

b) \({\cos ^2}\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \frac{\pi }{3}+x \right ) +  {\cos ^2}\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )\) \(+{\cos ^2}  \left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x\).

a) Ta có:

\(y’ = 6{\sin ^5}x.\cos x – 6{\cos ^5}x.\sin x + 6\sin x.\cos^3x –  6{\sin ^3}x.\cos x\)

\(= 6{\sin ^3}x.\cos x(\sin^2 x – 1) + 6\sin x.\cos^3 x(1 – {\cos ^2}x)\)

\(=  – 6{\sin ^3}x.\cos^3 x + 6{\sin ^3}x.\cos^3 x = 0\).

Vậy \(y’ = 0\) với mọi \(x\), tức là \(y’\) không phụ thuộc vào \(x\).

 b)

\(y = {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} – 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} – 2x} \right)} \over 2} \)

          \(+ {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} – 2{\sin ^2}x\)

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta được

\(y’ =\sin \left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right ) – \sin \left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )+ \sin \left ( \frac{4\pi }{3}-2x \right ) – \sin \left ( \frac{4\pi }{3}+2x \right )\)

\(- 2\sin 2x = 2\cos \frac{2\pi }{3}.\sin(-2x) + 2\cos \frac{4\pi }{3}. \sin (-2x) – 2\sin 2x \)

\(= \sin 2x + \sin 2x – 2\sin 2x = 0\),

vì \(\cos \frac{2\pi }{3}\) = \(\cos \frac{4\pi }{3}\) = \( -\frac{1}{2}\).

Vậy \(y’ = 0\) với mọi \(x\), do đó \(y’\) không phụ thuộc vào \(x\). 


Bài 7: Giải phương trình \(f'(x) = 0\), biết rằng:

a) \(f(x) = 3\cos x + 4\sin x + 5x\);

b) \(f(x) = 1 – \sin(π + x) + 2\cos \left ( \frac{2\pi +x}{2} \right )\).

a) \(f'(x) = – 3\sin x + 4\cos x + 5\). Do đó

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow – 3\sin x + 4\cos x + 5 = 0 \Leftrightarrow3 \sin x – 4\cos x = 5\)

            \(\Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin x –  \frac{4}{5}\ cos x = 1\).    (1)

Đặt \(\cos φ =  \frac{3}{5}\), \(\left(φ ∈ \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\right ) \Rightarrow \sin φ =  \frac{4}{5}\), ta có:

(1)   \(\Leftrightarrow \sin x.\cos φ – \cos x.\sin φ = 1   \Leftrightarrow \sin(x – φ) = 1\)

  \(\Leftrightarrow x – φ =  \frac{\pi }{2} + k2π   \Leftrightarrow x = φ + \frac{\pi }{2} + k2π, k ∈ \mathbb Z\).

b) \(f'(x) = – \cos(π + x) – \sin \left (\pi + \frac{x}{2} \right ) = \cos x + \sin  \frac{x }{2}\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x +  \sin \frac{x }{2} = 0 \Leftrightarrow \sin \frac{x }{2} = – cosx\)

\(\Leftrightarrow sin \frac{x }{2} = sin \left (x-\frac{\pi}{2}\right )\)

\(\Leftrightarrow \frac{x }{2}= x-\frac{\pi}{2}+ k2π\)  hoặc \( \frac{x }{2} = π – x+\frac{\pi}{2}+ k2π\)

\(\Leftrightarrow x = π – k4π\)  hoặc \(x = π + k \frac{4\pi }{3}\),  \((k ∈ \mathbb Z)\).


Bài 8: Giải bất phương trình \(f'(x) > g'(x)\), biết rằng:

a) \(f(x) = x^3+ x – \sqrt2\), \(g(x) = 3x^2+ x + \sqrt2\) ;

b) \(f(x) = 2x^3- x^2+ \sqrt3\), \(g(x) = x^3+  \frac{x^{2}}{2} – \sqrt 3\).

a) Ta có \(f'(x) = 3x^2+ 1\), \(g'(x) = 6x + 1\). Do đó

\(f'(x) > g'(x) \Leftrightarrow 3x^2+ 1 > 6x + 1 \Leftrightarrow 3x^2- 6x >0\)

\(\Leftrightarrow 3x(x – 2) > 0 \Leftrightarrow x > 2\) hoặc \(x > 0\)

\(\Leftrightarrow x ∈ (-∞;0) ∪ (2;+∞)\).

b) Ta có \(f'(x) = 6x^2- 2x\), \(g'(x) = 3x^2+ x\). Do đó

\(f'(x) > g'(x) \Leftrightarrow  6x^2- 2x > 3x^2+ x \Leftrightarrow  3x^2- 3x > 0\)

\(\Leftrightarrow 3x(x – 1) > 0 \Leftrightarrow x > 1\) hoặc \(x < 0\)

\(\Leftrightarrow  x ∈ (-∞;0) ∪ (1;+∞)\).

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 5, 6, 7, 8 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11: Đạo hàm của hàm số lượng giác” state=”close”] Bài 3 Đạo hàm của hàm số lượng giác. Giải bài 5, 6, 7, 8 trang 169 Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Tính…; Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc \(x\

Bài 5: Tính \( \frac{f'(1)}{\varphi ‘(1)}\), biết rằng \(f(x) = x^2\) và \(φ(x) = 4x +sin \frac{\pi x}{2}\).

Ta có \(f'(x) = 2x\), suy ra \(f'(1) = 2\)

và \(φ'(x) = 4 +  \left ( \frac{\pi x}{2} \right )’. cos \frac{\pi x}{2} = 4 +  \frac{\pi }{2}. cos \frac{\pi x}{2}\), suy ra \(φ'(1) = 4\).

Vậy \( \frac{f'(1)}{\varphi ‘(1)}\) = \( \frac{2}{4}\) = \( \frac{1}{2}\).


Bài 6: Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc \(x\):

a) \(\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x\);

b) \({\cos ^2}\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \frac{\pi }{3}+x \right ) +  {\cos ^2}\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )\) \(+{\cos ^2}  \left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x\).

a) Ta có:

\(y’ = 6{\sin ^5}x.\cos x – 6{\cos ^5}x.\sin x + 6\sin x.\cos^3x –  6{\sin ^3}x.\cos x\)

\(= 6{\sin ^3}x.\cos x(\sin^2 x – 1) + 6\sin x.\cos^3 x(1 – {\cos ^2}x)\)

\(=  – 6{\sin ^3}x.\cos^3 x + 6{\sin ^3}x.\cos^3 x = 0\).

Vậy \(y’ = 0\) với mọi \(x\), tức là \(y’\) không phụ thuộc vào \(x\).

 b)

\(y = {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} – 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} – 2x} \right)} \over 2} \)

          \(+ {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} – 2{\sin ^2}x\)

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta được

\(y’ =\sin \left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right ) – \sin \left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )+ \sin \left ( \frac{4\pi }{3}-2x \right ) – \sin \left ( \frac{4\pi }{3}+2x \right )\)

\(- 2\sin 2x = 2\cos \frac{2\pi }{3}.\sin(-2x) + 2\cos \frac{4\pi }{3}. \sin (-2x) – 2\sin 2x \)

\(= \sin 2x + \sin 2x – 2\sin 2x = 0\),

vì \(\cos \frac{2\pi }{3}\) = \(\cos \frac{4\pi }{3}\) = \( -\frac{1}{2}\).

Vậy \(y’ = 0\) với mọi \(x\), do đó \(y’\) không phụ thuộc vào \(x\). 


Bài 7: Giải phương trình \(f'(x) = 0\), biết rằng:

a) \(f(x) = 3\cos x + 4\sin x + 5x\);

b) \(f(x) = 1 – \sin(π + x) + 2\cos \left ( \frac{2\pi +x}{2} \right )\).

a) \(f'(x) = – 3\sin x + 4\cos x + 5\). Do đó

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow – 3\sin x + 4\cos x + 5 = 0 \Leftrightarrow3 \sin x – 4\cos x = 5\)

            \(\Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin x –  \frac{4}{5}\ cos x = 1\).    (1)

Đặt \(\cos φ =  \frac{3}{5}\), \(\left(φ ∈ \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\right ) \Rightarrow \sin φ =  \frac{4}{5}\), ta có:

(1)   \(\Leftrightarrow \sin x.\cos φ – \cos x.\sin φ = 1   \Leftrightarrow \sin(x – φ) = 1\)

  \(\Leftrightarrow x – φ =  \frac{\pi }{2} + k2π   \Leftrightarrow x = φ + \frac{\pi }{2} + k2π, k ∈ \mathbb Z\).

b) \(f'(x) = – \cos(π + x) – \sin \left (\pi + \frac{x}{2} \right ) = \cos x + \sin  \frac{x }{2}\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x +  \sin \frac{x }{2} = 0 \Leftrightarrow \sin \frac{x }{2} = – cosx\)

\(\Leftrightarrow sin \frac{x }{2} = sin \left (x-\frac{\pi}{2}\right )\)

\(\Leftrightarrow \frac{x }{2}= x-\frac{\pi}{2}+ k2π\)  hoặc \( \frac{x }{2} = π – x+\frac{\pi}{2}+ k2π\)

\(\Leftrightarrow x = π – k4π\)  hoặc \(x = π + k \frac{4\pi }{3}\),  \((k ∈ \mathbb Z)\).


Bài 8: Giải bất phương trình \(f'(x) > g'(x)\), biết rằng:

a) \(f(x) = x^3+ x – \sqrt2\), \(g(x) = 3x^2+ x + \sqrt2\) ;

b) \(f(x) = 2x^3- x^2+ \sqrt3\), \(g(x) = x^3+  \frac{x^{2}}{2} – \sqrt 3\).

a) Ta có \(f'(x) = 3x^2+ 1\), \(g'(x) = 6x + 1\). Do đó

\(f'(x) > g'(x) \Leftrightarrow 3x^2+ 1 > 6x + 1 \Leftrightarrow 3x^2- 6x >0\)

\(\Leftrightarrow 3x(x – 2) > 0 \Leftrightarrow x > 2\) hoặc \(x > 0\)

\(\Leftrightarrow x ∈ (-∞;0) ∪ (2;+∞)\).

b) Ta có \(f'(x) = 6x^2- 2x\), \(g'(x) = 3x^2+ x\). Do đó

\(f'(x) > g'(x) \Leftrightarrow  6x^2- 2x > 3x^2+ x \Leftrightarrow  3x^2- 3x > 0\)

\(\Leftrightarrow 3x(x – 1) > 0 \Leftrightarrow x > 1\) hoặc \(x < 0\)

\(\Leftrightarrow  x ∈ (-∞;0) ∪ (1;+∞)\).

[/toggle]

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!