Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a.

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 60⁰. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\), mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.

A.
\(\frac{{10\sqrt 3 }}{{27}}\)

B.
\(\frac{{10\sqrt 3 {a^3}}}{9}\)

C.
\(\frac{{10\sqrt 3 {a^3}}}{9}\)

D.
\(\frac{{10{a^3}}}{{27}}\)

Đáp án đúng: C

Bạn đang xem: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a.

Ta có: 

\(SA = AB.\tan SBA = AB.\tan 60 = a\sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l}
{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}AB.AD.SA = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\\
{V_{S.ABC}} = {V_{S.ACD}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\\
\frac{{{V_{S.MBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\\
 \Rightarrow {V_{S.MBC}} = \frac{2}{3}{V_{S.ABC}} = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{9}\\
\frac{{{V_{S.MCN}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{4}{9}\\
 \Rightarrow {V_{S.MCN}} = \frac{4}{9}.{V_{S.ACD}} = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}
\end{array}\)

Vậy \({V_{S.MBCN}} = {V_{S.MBC}} + {V_{S.MCN}} = \frac{{10\sqrt 3 {a^3}}}{{27}}\)