Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a

Câu hỏi:

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC, thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng \(\sqrt 3 {a^3}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC bằng

A.
\(a\)

B.
\(\frac{{7a}}{6}\)

C.
\(\frac{{6a}}{7}\)

D.
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án đúng: C

Bạn đang xem: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a

Gọi I là trung điểm BC \( \Rightarrow AI \bot BC\)

Ta có \(A’O \bot BC \Rightarrow \left( {AA’O} \right) \bot BC\)

Kẻ IH vuông góc AA’ \( \Rightarrow IH \bot BC \Rightarrow d\left( {AA’;BC} \right) = IH\)

Ta có:

\({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\(\begin{array}{l}
OA’ = \frac{V}{{{S_{ABC}}}} = 4\\
AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\
AO = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\
AA’ = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}\\
IH = \frac{{A’O.AI}}{{AA’}} = \frac{{6a}}{7}
\end{array}\)