Câu 49 mã đề 101 Cho hàm số y=f(x) Đồ thị của hàm số y = f(x) như hình bên h(x)=2f(x)-x^2

Câu hỏi:

Cho hàm số \(y = f(x)\).  Đồ thị của hàm số \(y = f'(x)\) như hình bên. Đặt \(h(x) = 2f(x) – {x^2}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?    

Bạn đang xem: Câu 49 mã đề 101 Cho hàm số y=f(x) Đồ thị của hàm số y = f(x) như hình bên h(x)=2f(x)-x^2

A.
\(h(4) = h( – 2) > h(2).\)           

B.
\(h(4) = h( – 2)

C.
\(h(2) > h(4) > h( – 2).\)                       

D.
\(h(2) > h( – 2) > h(4).\)

Đáp án đúng: C

Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm (2;2) và (4;4), d có dạng: y=ax+b

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 2\\4a + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right.\)

Suy ra phương trình của d là: y=x

Theo đề bài ta có:

\(h(x) = 2f(x) – {x^2} \Rightarrow h'(x) = 2f'(x) – 2x = 2\left[ {f'(x) – x} \right]\)

\(\begin{array}{l}\int\limits_2^4 {h'(x)dx}  = \int\limits_2^4 {2[f'(x) – x{\rm{]}}dx}  =  – 2\int\limits_2^4 {\left[ {x – f'(x)} \right]dx} \\ \Leftrightarrow \left. {h(x)} \right|_2^4 =  – 2{S_1} \Leftrightarrow h(4) – h(2) =  – 2{S_1} h(4)\,\,\,(1)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\int\limits_{ – 2}^4 {h'(x)dx}  = \int\limits_{ – 2}^4 {2\left[ {f'(x) – x} \right]dx}  = 2\int\limits_{ – 2}^2 {\left[ {f'(x) – x} \right]dx}  + 2\int\limits_2^4 {\left[ {f'(x) – x} \right]dx} \\ \Rightarrow \int\limits_{ – 2}^4 {h'(x)dx}  = 2\int\limits_{ – 2}^2 {\left[ {f'(x) – x} \right]dx}  – 2\int\limits_2^4 {\left[ {x – f'(x)} \right]dx} \\ \Leftrightarrow \left. {h(x)} \right|_{ – 2}^4 = 2({S_2} – {S_1}) \Leftrightarrow h(4) – h( – 2) = 2({S_2} – {S_1}) > 0\\ \Rightarrow h(4) > h( – 2)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có: \(h(2) > h(4) > h( – 2).\)