Cho nửa đường tròn đường kính AB, điểm C nằm trên nửa đường tròn này sao cho góc BAC bằng 300, đồng thời cho nửa �

Câu hỏi:

Cho nửa đường tròn đường kính AB, điểm C nằm trên nửa đường tròn này sao cho góc BAC bằng 30⁰, đồng thời cho nửa đường tròn đường kính AD (xem hình vẽ). Tính thểt ích V của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB, biết rằng AB = 2AD và nửa hình tròn đường kính AB có diện tích bằng \(32\pi \).

Bạn đang xem: Cho nửa đường tròn đường kính AB, điểm C nằm trên nửa đường tròn này sao cho góc BAC bằng 300, đồng thời cho nửa �

A.
\(V = \frac{{874}}{3}\pi \)

B.
\(V = \frac{{847}}{3}\pi \)

C.
\(V = \frac{{784}}{3}\pi \)

D.
\(V = 438\pi \)

Đáp án đúng: C

Gắn trục tọa độ vào hình vẽ, với \(O \equiv A\) như hình vẽ

Ta có:

\(\frac{1}{2}.\pi .A{D^2} = 32\pi  \Rightarrow AD = 8\)

=> PT đường tròn đường kính AB là:

\(\begin{array}{l}
{(x – 8)^2} + {y^2} = 64 \Leftrightarrow {y^2} = 64 – {(x – 8)^2}\\
 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {64 – {{(x – 8)}^2}} 
\end{array}\)

Ta lấy nửa bên trên => \(y = \sqrt {64 – {{(x – 8)}^2}} \)

=> PT đường tròn đường kính AD là:

\(\begin{array}{l}
{(x – 4)^2} + {y^2} = 16 <  =  > {y^2} = 16 – {(x – 4)^2}\\
 <  =  > y =  \pm \sqrt {16 – {{(x – 4)}^2}} 
\end{array}\)

Ta lấy nửa bên trên => \(y = \sqrt {16 – {{(x – 4)}^2}} \)

Phương trình AC: \(y = \tan 30.x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}x\)

Hoành độ giao điểm của AC và đường tròn đường kính AD là:

\(\sqrt {16 – {{(x – 4)}^2}}  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}x =  > x = 6\) (lấy x dương)

Hoành độ giao điểm của AC và đường tròn đường kính AB là:

\(\sqrt {64 – {{(x – 8)}^2}}  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}x =  > x = 12\) (lấy x dương)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
V = {S_2} + {S_3} = ({S_1} + {S_2}) – {S_1} + {S_3}\\
 = \pi \int\limits_6^{12} {\frac{{{x^2}}}{3}dx}  – \pi \int\limits_6^8 {{\rm{[}}16 – {{(x – 4)}^2}{\rm{]}}dx}  + \pi \int\limits_{12}^{16} {{\rm{[}}64 – {{(x – 8)}^2}{\rm{]}}dx} \\
 = \frac{{784}}{3}\pi 
\end{array}\)