Xét các số thực dương x, y thỏa mãn ({log _{frac{1}{2}}}x + {log _{frac{1}{2}}}y le {log _{frac{1}{2}}}left( {x + {y^2}} right))

Câu hỏi:

Xét các số thực dương x, y thỏa mãn \({\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}y \le {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất \(P_{min}\) của biểu thức \(P = x + 3y\). 

A.
\({P_{\min }} = \frac{{17}}{2}.\)

B.
\({P_{\min }} = 8.\)

C.
\({P_{\min }} = 9.\)

D.
\({P_{\min }} = \frac{{25\sqrt 2 }}{4}.\)

Đáp án đúng: C

Bạn đang xem: Xét các số thực dương x, y thỏa mãn ({log _{frac{1}{2}}}x + {log _{frac{1}{2}}}y le {log _{frac{1}{2}}}left( {x + {y^2}} right))

Theo bài ra ta có:

\({\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}y \le {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} \right) \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {xy} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} \right) \Leftrightarrow xy \ge x + {y^2}\)

\( \Leftrightarrow x\left( {y – 1} \right) \ge {y^2} > 0\). Mà \(x > 0 \Rightarrow y – 1 > 0 \Leftrightarrow y > 1\).

\(x \ge \frac{{{y^2}}}{{y – 1}}\). Khi đó ta có \(P = x + 3y \ge \frac{{{y^2}}}{{y – 1}} + 3y\) với y > 1.

Xét hàm số \(f\left( y \right) = \frac{{{y^2}}}{{y – 1}} + 3y\) với y > 1 ta có:

\(f’\left( y \right) = \frac{{2y\left( {y – 1} \right) – {y^2}}}{{{{\left( {y – 1} \right)}^2}}} + 3 = \frac{{{y^2} – 2y + 3{y^2} – 6y + 3}}{{{{\left( {y – 1} \right)}^2}}} = \frac{{4{y^2} – 8y + 3}}{{{{\left( {y – 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = \frac{3}{2}\\
y = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\) 

BBT:

Từ BBT ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{y > 1} f\left( y \right) = f\left( {\frac{3}{2}} \right) = 9\).

Vậy \(P \ge 9\) hay \({P_{\min }} = 9\).