Tìm m để phương trình (dfrac{{cos x + 2sin x + 3}}{{2cos x – sin x + 4}} = m) có nghiệm.

Câu hỏi:

Tìm m để phương trình \(\dfrac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x – \sin x + 4}} = m\) có nghiệm.

A.
\( – 3 \le m \le 2\) 

B.
\(m > 2\)

C.
\(m \ge  – 3\)

D.
\(\dfrac{2}{{11}} \le m \le 2\)

Đáp án đúng: D

Bạn đang xem: Tìm m để phương trình (dfrac{{cos x + 2sin x + 3}}{{2cos x – sin x + 4}} = m) có nghiệm.

Ta có: \(\dfrac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x – \sin x + 4}} = m \)

\(\Leftrightarrow \cos x + 2\sin x + 3 = m\left( {2\cos x – \sin x + 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {2m – 1} \right)\cos x – \left( {m + 2} \right)\sin x = 3 – 4m\)

Điều kiện có nghiệm: \({\left( {2m – 1} \right)^2} + {\left( {m + 2} \right)^2} \ge {\left( {3 – 4m} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 4{m^2} – 4m + 1 + {m^2} + 4m + 4\)\( \ge 9 – 24m + 16{m^2}\)

\( \Leftrightarrow 11{m^2} – 24m + 4 \le 0 \)\(\Leftrightarrow \dfrac{2}{{11}} \le m \le 2.\)