Giải Bài 41, 42, 43, 44 trang 175, 176 SGK Giải tích 12 Nâng cao: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Ôn tập chương III – Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng. Giải bài 41, 42, 43, 44 trang 175, 176 SGK Giải tích lớp 12 Nâng cao. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau; Tìm hàm số

Bài 41: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 2x\left( {1 – {x^{ – 3}}} \right);\)          b) \(y = 8x – {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}};\)
c) \(y = {x^{{1 \over 2}}}\sin \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right);\)      d) \(y = {{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}};\)

Bạn đang xem: Giải Bài 41, 42, 43, 44 trang 175, 176 SGK Giải tích 12 Nâng cao: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

a) \(\int {2x\left( {1 – {x^{ – 3}}} \right)} dx = \int {\left( {2x – 2{x^{ – 2}}} \right)dx }\)

\(= {x^2} + {2 \over x} + C\)

b) \(\int {\left( {8x – {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}}} \right)dx = } \int {\left( {8x – 2{x^{ – {1 \over 4}}}} \right)} dx\)

\(= 4{x^2} – {8 \over 3}{x^{{3 \over 4}}} + C\)

c) Đặt

\(\eqalign{
& u = {x^{{3 \over 2}}} + 1 \Rightarrow du = {3 \over 2}{x^{{1 \over 2}}}dx \Rightarrow {x^{{1 \over 2}}}dx = {2 \over 3}du \cr
& \int {{x^{{1 \over 2}}}\sin\left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right)dx = {2 \over 3}\int {\sin udu} }\cr&= – {2 \over 3}\cos u + C = – {2 \over 3}\cos \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right) + C\cr} \)

d) Đặt \(u = \cos \left( {2x + 1} \right) \Rightarrow du =  – 2\sin \left( {2x + 1} \right)dx \)

\(\Rightarrow \sin \left( {2x + 1} \right)dx =  – {1 \over 2}du\)

Do đó \(\int {{{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}} dx =  – {1 \over 2}\int {{{du} \over {{u^2}}} = {1 \over {2u}}} + C\)

\(= {1 \over {2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C\)

Bài 42: a) \(y = {1 \over {{x^2}}}\cos \left( {{1 \over x} – 1} \right)\);           b) \(y = {x^3}{\left( {1 + {x^4}} \right)^3}\);
c) \(y = {{x{e^{2x}}} \over 3}\);                            d) \(y = {x^2}{e^x}\).

a) Đặt \(u = {1 \over x} – 1 \Rightarrow du =  – {1 \over {{x^2}}}dx \Rightarrow {{dx} \over {{x^2}}} =  – du\)
Do đó \(\int {{1 \over {{x^2}}}} \cos \left( {{1 \over x} – 1} \right)dx =  – \int {\cos udu }\)

\(=  – \sin u + C =  – \sin \left( {{1 \over x} – 1} \right) + C\)

b) Đặt \(u = 1 + {x^4} \Rightarrow du = 4{x^3}dx \Rightarrow {x^3}dx = {{du} \over 4}\)

\(\int {{x^3}{{\left( {1 + {x^4}} \right)}^3}dx = {1 \over 4}\int {{u^3}du = {{{u^4}} \over {16}} + C} } \)

\(= {1 \over {16}} {\left( {1 + {x^4}} \right)^4} + C\)

c) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = {x \over 3} \hfill \cr
dv = {e^{2x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {1 \over 3}dx \hfill \cr
v = {1 \over 2}{e^{2x}} \hfill \cr} \right.\)

Suy ra: \(\int {{{x{e^{2x}}} \over 3}dx = {1 \over 6}x{e^{2x}} – {1 \over 6}\int {{e^{2x}}dx} } \)

\(= {1 \over 6}x{e^{2x}} – {1 \over {12}}{e^{2x}} + C \)

d) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)

Suy ra \(\int {{x^2}{e^x}dx = {x^2}{e^x} – 2\int {x{e^x}dx} } \)   (1)

Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)

Do đó: \(\int {x{e^x}dx = x{e^x} – \int {{e^x}dx = x{e^x} – {e^x} + C} } \)

Từ (1) suy ra \(\int {{x^2}{e^x}dx = {x^2}{e^x} – 2x{e^x} + 2{e^x} + C}  \)

\(= {e^x}\left( {{x^2} – 2x + 2} \right) + C\)

Bài 43: a) \(y = x{e^{ – x}}\);                    b) \(y = {{\ln x} \over x}\).

a) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^{ – x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = – {e^{ – x}} \hfill \cr} \right.\)

Suy ra \(\int {x{e^{ – x}}dx =  – x{e^{ – x}} + \int {{e^{ – x}}dx} }\)

\(=  – x{e^{ – x}} – {e^{ – x}} + C =  – {e^{ – x}}\left( {x + 1} \right) + C \)

b) Đặt \(u = \ln x \Rightarrow du = {{dx} \over x}\)

Do đó \(\int {{{\ln x} \over x}} dx = \int {udu = {{{u^2}} \over 2}}  + C = {{{{(\ln x)}^2}} \over 2} + C\)

Bài 44: Tìm hàm số \(y = f(x)\) nếu biết \(dy = 12x{\left( {3{x^2} – 1} \right)^3}dx\) và \(f(1) = 3\).

Ta có \(y = f\left( x \right) = \int {dy = 12\int {x{{\left( {3{x^2} – 1} \right)}^3}dx} } \)

Đặt \(u = 3{x^2} – 1 \Rightarrow du = 6xdx \Rightarrow xdx = {{du} \over 6}\)

Do đó \(f\left( x \right) = 2\int {{u^3}} du = {{{u^4}} \over 2} + C = {1 \over 2}{\left( {3{x^2} – 1} \right)^4} + C\)

Vì \(f\left( 1 \right) = 3\) nên \({1 \over 2}{2^4} + C = 3 \Rightarrow C =  – 5\)

Vậy \(f\left( x \right) = {1 \over 2}{\left( {3{x^2} – 1} \right)^4} – 5\)

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 41, 42, 43, 44 trang 175, 176 SGK Giải tích 12 Nâng cao: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng” state=”close”]Ôn tập chương III – Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng. Giải bài 41, 42, 43, 44 trang 175, 176 SGK Giải tích lớp 12 Nâng cao. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau; Tìm hàm số

Bài 41: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 2x\left( {1 – {x^{ – 3}}} \right);\)          b) \(y = 8x – {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}};\)
c) \(y = {x^{{1 \over 2}}}\sin \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right);\)      d) \(y = {{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}};\)

a) \(\int {2x\left( {1 – {x^{ – 3}}} \right)} dx = \int {\left( {2x – 2{x^{ – 2}}} \right)dx }\)

\(= {x^2} + {2 \over x} + C\)

b) \(\int {\left( {8x – {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}}} \right)dx = } \int {\left( {8x – 2{x^{ – {1 \over 4}}}} \right)} dx\)

\(= 4{x^2} – {8 \over 3}{x^{{3 \over 4}}} + C\)

c) Đặt

\(\eqalign{
& u = {x^{{3 \over 2}}} + 1 \Rightarrow du = {3 \over 2}{x^{{1 \over 2}}}dx \Rightarrow {x^{{1 \over 2}}}dx = {2 \over 3}du \cr
& \int {{x^{{1 \over 2}}}\sin\left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right)dx = {2 \over 3}\int {\sin udu} }\cr&= – {2 \over 3}\cos u + C = – {2 \over 3}\cos \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right) + C\cr} \)

d) Đặt \(u = \cos \left( {2x + 1} \right) \Rightarrow du =  – 2\sin \left( {2x + 1} \right)dx \)

\(\Rightarrow \sin \left( {2x + 1} \right)dx =  – {1 \over 2}du\)

Do đó \(\int {{{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}} dx =  – {1 \over 2}\int {{{du} \over {{u^2}}} = {1 \over {2u}}} + C\)

\(= {1 \over {2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C\)

Bài 42: a) \(y = {1 \over {{x^2}}}\cos \left( {{1 \over x} – 1} \right)\);           b) \(y = {x^3}{\left( {1 + {x^4}} \right)^3}\);
c) \(y = {{x{e^{2x}}} \over 3}\);                            d) \(y = {x^2}{e^x}\).

a) Đặt \(u = {1 \over x} – 1 \Rightarrow du =  – {1 \over {{x^2}}}dx \Rightarrow {{dx} \over {{x^2}}} =  – du\)
Do đó \(\int {{1 \over {{x^2}}}} \cos \left( {{1 \over x} – 1} \right)dx =  – \int {\cos udu }\)

\(=  – \sin u + C =  – \sin \left( {{1 \over x} – 1} \right) + C\)

b) Đặt \(u = 1 + {x^4} \Rightarrow du = 4{x^3}dx \Rightarrow {x^3}dx = {{du} \over 4}\)

\(\int {{x^3}{{\left( {1 + {x^4}} \right)}^3}dx = {1 \over 4}\int {{u^3}du = {{{u^4}} \over {16}} + C} } \)

\(= {1 \over {16}} {\left( {1 + {x^4}} \right)^4} + C\)

c) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = {x \over 3} \hfill \cr
dv = {e^{2x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {1 \over 3}dx \hfill \cr
v = {1 \over 2}{e^{2x}} \hfill \cr} \right.\)

Suy ra: \(\int {{{x{e^{2x}}} \over 3}dx = {1 \over 6}x{e^{2x}} – {1 \over 6}\int {{e^{2x}}dx} } \)

\(= {1 \over 6}x{e^{2x}} – {1 \over {12}}{e^{2x}} + C \)

d) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)

Suy ra \(\int {{x^2}{e^x}dx = {x^2}{e^x} – 2\int {x{e^x}dx} } \)   (1)

Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)

Do đó: \(\int {x{e^x}dx = x{e^x} – \int {{e^x}dx = x{e^x} – {e^x} + C} } \)

Từ (1) suy ra \(\int {{x^2}{e^x}dx = {x^2}{e^x} – 2x{e^x} + 2{e^x} + C}  \)

\(= {e^x}\left( {{x^2} – 2x + 2} \right) + C\)

Bài 43: a) \(y = x{e^{ – x}}\);                    b) \(y = {{\ln x} \over x}\).

a) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^{ – x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = – {e^{ – x}} \hfill \cr} \right.\)

Suy ra \(\int {x{e^{ – x}}dx =  – x{e^{ – x}} + \int {{e^{ – x}}dx} }\)

\(=  – x{e^{ – x}} – {e^{ – x}} + C =  – {e^{ – x}}\left( {x + 1} \right) + C \)

b) Đặt \(u = \ln x \Rightarrow du = {{dx} \over x}\)

Do đó \(\int {{{\ln x} \over x}} dx = \int {udu = {{{u^2}} \over 2}}  + C = {{{{(\ln x)}^2}} \over 2} + C\)

Bài 44: Tìm hàm số \(y = f(x)\) nếu biết \(dy = 12x{\left( {3{x^2} – 1} \right)^3}dx\) và \(f(1) = 3\).

Ta có \(y = f\left( x \right) = \int {dy = 12\int {x{{\left( {3{x^2} – 1} \right)}^3}dx} } \)

Đặt \(u = 3{x^2} – 1 \Rightarrow du = 6xdx \Rightarrow xdx = {{du} \over 6}\)

Do đó \(f\left( x \right) = 2\int {{u^3}} du = {{{u^4}} \over 2} + C = {1 \over 2}{\left( {3{x^2} – 1} \right)^4} + C\)

Vì \(f\left( 1 \right) = 3\) nên \({1 \over 2}{2^4} + C = 3 \Rightarrow C =  – 5\)

Vậy \(f\left( x \right) = {1 \over 2}{\left( {3{x^2} – 1} \right)^4} – 5\)

[/toggle]