Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính cô-sin của góc giũa hai đường thẳng AB và DM?

Câu hỏi:

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính cô-sin của góc giũa hai đường thẳng AB và DM?

A.
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

B.
\(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\)

C.
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

D.
1/2

Đáp án đúng: B

Bạn đang xem: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính cô-sin của góc giũa hai đường thẳng AB và DM?

Gọi N là trung điểm của AC. Khi đó, AB // MN nên \(\left( {DM,AB} \right) = \left( {DM,MN} \right)\) 

Dễ dàng tính được \(DM = DN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \(MN = \frac{a}{2}\) 

Trong tam giác DMN, ta có \(\cos DMN = \frac{{D{M^2} + M{N^2} – D{N^2}}}{{2DM.MN}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\) 

Vì \(\cos DMN = \frac{{\sqrt 3 }}{6} > 0\) nên \(\cos \left( {DM,MN} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\) 

Vậy \(\cos \left( {DM,AB} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)