Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (left( alpha  right)) có phương trình (2x + y – z – 1 = 0) v

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình \(2x + y – z – 1 = 0\) và mặt cầu (S) có phương trình \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4.\) Xác định bán kính r của đường tròn là giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và mặt cầu (S).

A.
\(r = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\)

B.
\(r = \frac{{2\sqrt 7 }}{3}.\)

C.
\(r = \frac{{2\sqrt {15} }}{3}.\)

D.
\(r = \frac{{2\sqrt {42} }}{3}.\)

Đáp án đúng: A

Bạn đang xem: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (left( alpha  right)) có phương trình (2x + y – z – 1 = 0) v

Mặt cầu \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\) có tâm \(I\left( {1;1; – 2} \right)\), bán kính R = 2 

\(d = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 1 – \left( { – 2} \right) – 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 6 }} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\) 

Ta có: \({d^2} + {r^2} = {R^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)^2} + {r^2} = {2^2} \Leftrightarrow {r^2} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow r = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) 

Bán kính r của đường tròn là giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và mặt cầu (S) là \(r = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)