Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;- 1;2) và hai đường thẳng ({d_1}:left{ begin{array}{l}x = t\y = 1 – t\z =  – 1end{array} right.), ({d_2}:frac{{x + 1}}{2} = frac{{y – 1}}{1} = frac{{z + 2}}{1}). Đường thẳng (Delta) đi qua M và cắt cả hai đường thẳng (d_1, d_2) có véc tơ chỉ phương là (overrightarrow {{u_Delta }} left( {1;a;b} right)), tính (a+b)

Câu hỏi:

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;- 1;2) và hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1 – t\\
z =  – 1
\end{array} \right.\), \({d_2}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}\). Đường thẳng \(\Delta\) đi qua M và cắt cả hai đường thẳng \(d_1, d_2\) có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \left( {1;a;b} \right)\), tính \(a+b\)    

A.
\(a+b=-1\)

B.
\(a+b=-2\)

C.
\(a+b=2\)

D.
\(a+b=1\)

Đáp án đúng: D

Bạn đang xem: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;- 1;2) và hai đường thẳng ({d_1}:left{ begin{array}{l}x = t\y = 1 – t\z =  – 1end{array} right.), ({d_2}:frac{{x + 1}}{2} = frac{{y – 1}}{1} = frac{{z + 2}}{1}). Đường thẳng (Delta) đi qua M và cắt cả hai đường thẳng (d_1, d_2) có véc tơ chỉ phương là (overrightarrow {{u_Delta }} left( {1;a;b} right)), tính (a+b)

Gọi \(A\left( {t;1 – t; – 1} \right),B\left( { – 1 + 2t’;1 + t’; – 2 + t’} \right)\) là giao điểm của \(\Delta\) với \(d_1, d_2\).

Khi đó \(\overrightarrow {MA}  = \left( {t – 1;2 – t; – 3} \right),\overrightarrow {MB}  = \left( { – 2 + 2t’;2 + t’; – 4 + t’} \right)\)          

Ba điểm M, A, B cùng thuộc \(\Delta\) nên \(\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t – 1 = k\left( { – 2 + 2t’} \right)\\
2 – t = k\left( {2 + t’} \right)\\
 – 3 = k\left( { – 4 + t’} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = 0\\
kt’ = \frac{1}{3}\\
k = \frac{5}{6}
\end{array} \right.\) 

Do đó \(A\left( {0;1; – 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = \left( { – 1;2; – 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1; – 2;3} \right)\) là một VTCP của \(\Delta\) hay \(a =  – 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 1\)