Cho cấp số nhân ((u_n)) có (u_2=-2) và (u_5=54) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho

Câu hỏi:

Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_2=-2\) và \(u_5=54\) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.

A.
\({S_{100}} = \frac{{1 – {3^{100}}}}{4}.\)

B.
\({S_{100}} = \frac{{{3^{100}} – 1}}{2}.\)

C.
\({S_{100}} = \frac{{{3^{100}} – 1}}{6}.\)

D.
\({S_{100}} = \frac{{1 – {3^{100}}}}{6}.\)

Đáp án đúng: D

Bạn đang xem: Cho cấp số nhân ((u_n)) có (u_2=-2) và (u_5=54) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
 – 2 = {u_2} = {u_1}q\\
54 = {u_5} = {u_1}{q^4} = {u_1}q.{q^3} =  – 2{q^3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = \frac{2}{3}\\
q =  – 3
\end{array} \right..\) Khi đó

\({S_{100}} = {u_1}.\frac{{1 – {q^{100}}}}{{1 – q}} = \frac{2}{3}.\frac{{1 – {{\left( { – 3} \right)}^{100}}}}{{1 – \left( { – 3} \right)}} = \frac{{1 – {3^{100}}}}{6}\)