Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng ABC tạo với mặt đáy góc 600.

Câu hỏi:

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng AB’C’ tạo với mặt đáy góc 60⁰. Tính theo a thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’.

A.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

B.
\(V = \frac{{{3a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

C.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

D.
\(V = \frac{{{3a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

Đáp án đúng: D

Bạn đang xem: Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng ABC tạo với mặt đáy góc 600.

Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên \(AA’\bot ABC\).

Gọi M là trung điểm B’C’, do tam giác A’B’C’ đều nên suy ra \(A’M\bot B’C’\).

Khi đó \({60^0} = \widehat {\left( {\left( {AB’C’} \right),\left( {A’B’C’} \right)} \right)}\)

\( = \left( {AM,A’M} \right) = \widehat {AMA’}\)

Tam giác AA’M, có \(A’M = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\);

\(AA’ = A’M.\tan AMA’ = \frac{{3a}}{2}\)

Diện tích tam giác đều \({S_{A’B’C’}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \(V = {S_{ABC}}.AA’ = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).