Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

Câu hỏi:

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

A.
\(V = \frac{{{a^3}}}{8}\)

B.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

C.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

D.
\(V = \frac{{{a^3}}}{4}\)

Đáp án đúng: A

Bạn đang xem: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

Gọi H là trung điểm \(AB \Rightarrow SH \bot AB\) (vì tam giác SAB đều)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\
\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\\
SH \bot AB;SH \subset \left( {SAB} \right)
\end{array} \right.\) 

Tam giác ABC đều cạnh a nên AB = a \( \Rightarrow \) tam giác SAB cũng là tam giác đều cạnh a.

Vì  SH là đường trung tuyến trong tam giác  SAB  đều cạnh  a  nên

\(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) 

Diện tích đáy \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) 

Thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{8}\)