Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn: (left( {{C_1}} right):quad {x^2} + {y^2} = 13) và (left( {{C_2}} right):;{left( {x –

Câu hỏi:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn: \(\left( {{C_1}} \right):\quad {x^2} + {y^2} = 13\) và \(\left( {{C_2}} \right):\;{\left( {x – 6} \right)^2} + {y^2} = 25\) cắt nhau tại A(2;3).Viết phương trình tất cả đường thẳng d đi qua A và cắt \((C_1), (C_2)\) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.

A.
d: x – 2 = 0 và d: 2x – 3y + 5 = 0

B.
d: x – 2 = 0 và d: 2x – 3y – 5 = 0

C.
d: x + 2 = 0 và d: 2x – 3y – 5 = 0

D.
d: x – 2 = 0 và d: 2x + 3y + 5 = 0

Đáp án đúng: A

Từ giả thiết : \(\left( {{C_1}} \right):\;I = \left( {0;0} \right),R = \sqrt {13} .\left( {{C_2}} \right);J\left( {6;0} \right),R’ = 5\)

– Gọi đường thẳng d qua A(2;3) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + at\\
y = 3 + bt
\end{array} \right.\)

– d cắt \((C_1)\) tại A, B: \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + at\\
y = 3 + bt\\
{x^2} + {y^2} = 13
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} + 2\left( {2a + 3b} \right)t} \right] = 0 \to t =  – \frac{{2a + 3b}}{{{a^2} + {b^2}}}\)

\( \Leftrightarrow B\left( {\frac{{b\left( {2b – 3a} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}};\frac{{a\left( {3a – 2b} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\). Tương tự d cắt \((C_2)\) tại A, C thì tọa độ của A, C là nghiệm của hệ:

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + at\\
y = 3 + bt\\
{\left( {x – 6} \right)^2} + {y^2} = 25
\end{array} \right. \to t = \frac{{2\left( {4a – 3b} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} \Leftrightarrow C\left( {\frac{{10{a^2} – 6ab + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}};\frac{{3{a^2} + 8ab – 3{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\)

– Nếu 2 dây cung bằng nhau thì là trung điểm của ,. Từ đó ta có phương trình :

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {2{b^2} – 3ab} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{10{a^2} – 6ab + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 4 \Leftrightarrow 6{a^2} – 9ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0 \to ;d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 3 + t
\end{array} \right.\\
a = \frac{3}{2}b \to \overrightarrow u  = \left( {\frac{3}{2}b;b} \right)//\overrightarrow {u’}  = \left( {3;2} \right)
\end{array} \right.\)

Suy ra : \(\to d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 3t\\
y = 3 + 2t
\end{array} \right.\). Vậy có 2 đường thẳng: \(d:x – 2 = 0\) và \(d’:2x – 3y + 5 = 0\).