Cho hai biểu thức A = (frac{{sqrt x  + 4}}{{sqrt x  – 1}}) và B = (frac{{3sqrt x  + 1}}{{x + 2sqrt x  – 3}} – frac{2}{{sqrt x + 3}}) với x ≥ 0, x ≠ 1 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 2) Chứng minh B = (frac{1}{{sqrt x – 1}}) 3) Tìm tất cả giá trị của x để (frac{A}{B} ge frac{x}{4} + 5).

Câu hỏi:

Cho hai biểu thức A = \(\frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  – 1}}\) và B = \(\frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x + 2\sqrt x  – 3}} – \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\) với x ≥ 0, x ≠ 1

          1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

Bạn đang xem: Cho hai biểu thức A = (frac{{sqrt x  + 4}}{{sqrt x  – 1}}) và B = (frac{{3sqrt x  + 1}}{{x + 2sqrt x  – 3}} – frac{2}{{sqrt x + 3}}) với x ≥ 0, x ≠ 1 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 2) Chứng minh B = (frac{1}{{sqrt x – 1}}) 3) Tìm tất cả giá trị của x để (frac{A}{B} ge frac{x}{4} + 5).

          2) Chứng minh B = \(\frac{1}{{\sqrt x  – 1}}\)

          3) Tìm tất cả giá trị của x để \(\frac{A}{B} \ge \frac{x}{4} + 5\).

1) Ta có \(A = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  – 1}} = \frac{{\sqrt 9  + 4}}{{\sqrt 9  – 1}} = \frac{7}{2}\)

2) \(B = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x + 2\sqrt x  – 3}} – \frac{2}{{\sqrt x  + 3}} = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{(\sqrt x  + 3)(\sqrt x  – 1)}} – \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\)

\( = \frac{{3\sqrt x  + 1 – 2\left( {\sqrt x  – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  – 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\left( {\sqrt x  – 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x  – 1}}\)

3) \(\frac{A}{B} \ge \frac{x}{4} + 5\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  – 1}}:\frac{1}{{\sqrt x  – 1}} \ge \frac{x}{4} + 5 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  – 1}}.\sqrt x  – 1 \ge \frac{x}{4} + 5\\
 \Leftrightarrow \sqrt x  + 4 \ge \frac{x}{4} + 5 \Leftrightarrow \frac{x}{4} – \sqrt x  + 1 \le 0\\
 \Leftrightarrow x – 4\sqrt x  + 4 \le 0 \Leftrightarrow {(\sqrt x  – 2)^2} \le 0
\end{array}\)

Mặt khác \({(\sqrt x  – 2)^2} \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\)

Do đó \({(\sqrt x  – 2)^2} \le 0 \Leftrightarrow \sqrt x  – 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x  = 2 \Leftrightarrow x = 4\)