Đường tròn ({(x – a)^2} + {(y – b)^2} = {R^2})cắt đường thẳng (x + y – a – b = 0) theo một dây cung có độ dài bằng bao

Câu hỏi:

Đường tròn \({(x – a)^2} + {(y – b)^2} = {R^2}\)cắt đường thẳng \(x + y – a – b = 0\) theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu ?

A.
2R

B.
\(R\sqrt 2 \)

C.
\(\frac{{R\sqrt 2 }}{2}\)

D.
R

Đáp án đúng: A

\(x + y – a – b = 0 \Leftrightarrow y = a + b – x\) thay vào \({(x – a)^2} + {(y – b)^2} = {R^2}\) ta có

\({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {x – a} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = a + \frac{R}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow y = b – \frac{R}{{\sqrt 2 }}\\
x = a – \frac{R}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow y = b + \frac{R}{{\sqrt 2 }}
\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ giao điểm là: \(A\left( {a + \frac{R}{{\sqrt 2 }};b – \frac{R}{{\sqrt 2 }}} \right);B\left( {a – \frac{R}{{\sqrt 2 }};b + \frac{R}{{\sqrt 2 }}} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { – \frac{{2R}}{{\sqrt 2 }};\frac{{2R}}{{\sqrt 2 }}} \right) \Rightarrow AB = 2R\)