Giải Bài 1, 2, 3, 4 trang 113, 114 SGK Hình học 11: Hai mặt phẳng vuông góc

monica Tháng mười 12, 2022

0 5 phút

Bài 4 Hai mặt phẳng vuông góc. Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 113, 114 Sách giáo khoa Hình học 11.Cho ba mặt phẳng; Chứng minh rằng:

Bài 1: Cho ba mặt phẳng $(\alpha)$, $(\beta )$, $(\gamma )$, mệnh đề nào sau đây đúng?

a) Nếu $(\alpha)\bot\beta$ và $(\alpha) // (\gamma)$ thì $(\beta)\bot(\gamma)$;

Bạn đang xem: Giải Bài 1, 2, 3, 4 trang 113, 114 SGK Hình học 11: Hai mặt phẳng vuông góc

b) Nếu $(\alpha)\bot\beta$ và $(\alpha) \bot (\gamma)$ thì $(\beta)//(\gamma)$.

a) Đúng.

b) Sai.

Bài 2: Cho hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến $\Delta$ của hai mặt phẳng đó hai điểm $A$ và $B$ sao cho $AB=8cm$. Gọi $C$ là một điểm trên $(\alpha)$ và $D$ là một điểm trên $(\beta)$ sao cho $AC$ và $BD$ cùng vuông góc với giao tuyến $\Delta$ và $AC=6cm$, $BD=24cm$. Tính độ dài đoạn $CD$.

$\left. \matrix{
(\alpha ) \bot (\beta ) \hfill \cr
AC \bot \Delta \hfill \cr
AC \subset (\alpha ) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AC \bot (\beta )$

Do đó $AC\bot AD$ hay tam giác $ACD$ vuông tại $A$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác $ACD$ ta được:

$$D{C^2} = A{C^2} + A{D^2}(1)$$

Theo giả thiết $BD$ vuông góc với giao tuyến nên $BD\bot AB$ hay tam giác $ABD$ vuông tại $B$.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác $ABD$ ta được:

$$A{D^2} = A{B^2} + B{D^2}(2)$$

Từ (1) và (2) suy ra: $D{C^2} = A{C^2} + A{B^2} + B{D^2} = {6^2} + {8^2} + {24^2} = 676$

$ \Rightarrow DC = \sqrt {676} = 26cm$

Bài 3: Trong mặt phẳng $(\alpha)$ cho tam giác $ABC$ vuông ở $B$. Một đoạn thẳng $AD$ vuông góc với $(\alpha)$ tại $A$. Chứng minh rằng:

a) $\widehat {ABD}$ là góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(DBC)$;

b) Mặt phẳng $(ABD)$ vuông góc với mặt phẳng $(BCD)$;

c) $HK//BC$ với $H$ và $K$ lần lượt là giao điểm của $DB$ và $DC$ với mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với $DB$.

a) Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\bot BC$ (1)

$AD$ vuông góc với $(\alpha)$ nên $AD\bot BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BC\bot (ABD)$ suy ra $BC\bot BD$

$\left. \matrix{
(ABC) \cap (DBC) = BC \hfill \cr
BD \bot BC \hfill \cr
AB \bot BC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow $ góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(DBC)$ là góc $\widehat {ABD}$

$\left. \matrix{
BC \bot (ABD) \hfill \cr
BC \subset (BCD) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow (ABD) \bot (BCD)$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với $DB$ nên $HK\bot BC$

Trong $(BCD)$ có: $HK\bot BC$ và $BC\bot BD$ nên suy ra $HK// BC$.

Bài 4: Cho hai mặt phẳng $(\alpha)$, $(\beta)$ cắt nhau và một điểm $M$ không thuộc $(\alpha)$ và không thuộc $(\beta)$. Chứng minh rằng qua điểm $M$ có một và chỉ một mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $(\alpha)$ và $(\beta)$. Nếu $(\alpha)$ song song với $(\beta)$ thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào?

Gọi $a=(\alpha)\cap (\beta)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và vuông góc với $a$.

Vì $a\subset (\alpha)$ nên $(P)\bot (\alpha)$, $a\subset (\beta)$ nên $(P)\bot(\beta)$

Như vậy qua $M$ có mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $(\alpha)$ và $(\beta)$.

Ngược lại: Nếu có $(P)$ đi qua $M$ và vuông góc với $(\alpha)$ và $(\beta)$ thì $(P)\bot a$. Do tính duy nhất của mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước nên $(P)$ duy nhất.

Nếu $(\alpha)//(\beta)$ gọi $d$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(\alpha)$ khi đó ta có $d\bot (\beta)$. Như vậy mọi mặt phẳng chứa $d$ đều vuông góc với $(\alpha)$ và $(\beta)$. Do đó khi $(\alpha)//(\beta)$ thì có vô số mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và vuông góc với $(\alpha)$ và $(\beta)$.

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 1, 2, 3, 4 trang 113, 114 SGK Hình học 11: Hai mặt phẳng vuông góc” state=”close”]Bài 4 Hai mặt phẳng vuông góc. Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 113, 114 Sách giáo khoa Hình học 11.Cho ba mặt phẳng; Chứng minh rằng: