Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m sao cho hàm số (y = m{x^3} + 3{x^2} + {m^2},left( {m ne 0} right)) đồng biến

Câu hỏi:

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m sao cho hàm số \(y = m{x^3} + 3{x^2} + {m^2},\left( {m \ne 0} \right)\) đồng biến trên khoảng (a;b) và nghịch biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ;a} \right),\left( {b; + \infty } \right)\) sao cho \(\left| {a – b} \right| = 2\).

A.
0

B.
1

C.
2

D.
Vô số m

Đáp án đúng: B

Bạn đang xem: Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m sao cho hàm số (y = m{x^3} + 3{x^2} + {m^2},left( {m ne 0} right)) đồng biến

TXĐ: D = R.

Ta có: \(y’ = 3m{x^2} + 6x;y’ = 0\)

\(\Leftrightarrow 3m{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 0\\
{x_2} =  – \frac{2}{m}
\end{array} \right.\)

Điều kiện \(m \ne 0\).

Vẽ bảng xét dấu đạo hàm y’ ta cần biết dấu của hệ số a = 3m. Ta có nhận xét sau:

Nếu \(a = 3m > 0 \Rightarrow {x_2} < {x_1}\) thì ta có bảng xét dấu

Khi đó, hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ;{x_2}} \right)\) và \(\left( {{x_1}; + \infty } \right)\). Không thỏa đề nên loại trường hợp \(a = 3m > 0\).

Nếu \(a = 3m < 0 \Leftrightarrow m < 0\)

\( \Rightarrow {x_1} < {x_2}\), ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta nhận thấy hàm số chỉ luôn đồng biến trên khoảng \((x_1;x_2)\).

Yêu cầu bài toán

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left| {{x_2} – {x_1}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| { – \frac{2}{m} – 0} \right| = 2\\
 \Leftrightarrow  – \frac{1}{m} = 1 \Leftrightarrow m =  – 1
\end{array}\)