Giải Bài 3.35, 3.36, 3.37, 3.38 trang trang 129, 130 SBT Hình học 12: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau ?

Bài 3 Phương trình đường thẳng SBT Toán lớp 12. Giải bài 3.35, 3.36, 3.37, 3.38 trang trang 129, 130 Sách bài tập Hình học 12. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng trong các trường hợp sau ?; Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau ?

Bài 3.35: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau

a) \(d:\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 1 + 2t} \cr {z = 1 – t} \cr} } \right.\)   và  \((\alpha )\) : x + 2y + z – 3 = 0

Bạn đang xem: Giải Bài 3.35, 3.36, 3.37, 3.38 trang trang 129, 130 SBT Hình học 12: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau ?

b)  d: \(\left\{ {\matrix{{x = 2 – t} \cr {y = t} \cr {z = 2 + t} \cr} } \right.\) và \((\alpha )\)  : x + z + 5 = 0

c)\(d:\left\{ {\matrix{{x = 3 – t} \cr {y = 2 – t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.\)   và \((\alpha )\)  : x +y + z -6 = 0

a) Thay x, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng d  vào phương trình tổng quát của mặt phẳng  \((\alpha )\)  ta được:  t + 2(1 + 2t) + (1 – t) – 3 = 0

⟺ 4t = 0 ⟺ t = 0

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng \((\alpha )\)   tại M₀(0; 1; 1).

b) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát  của \((\alpha )\)  ta được: (2 – t)  +(2 + t) + 5 = 0 ⟺ 0t = -9

Phương trình vô nghiệm, vậy đường thẳng d song song với \((\alpha )\)

c) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của \((\alpha )\)  ta được:  (3 – t) + (2 – t) + (1 + 2t) – 6 = 0 ⟺ 0t  = 0

Phương trình luôn thỏa mãn với mọi t. Vậy d chứa trong \((\alpha )\) .

Bài 3.36: Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng \(\Delta :{{x – 1} \over 2} = {y \over 2} = {z \over 1}\)

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm M₀(1; 0; 0) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a  = (2;2;1)\) .

Ta có \(\overrightarrow {{M_0}A}  = (0;0;1),\overrightarrow n  = \overrightarrow a  \wedge \overrightarrow {{M_0}A}  = (2; – 2;0)\) .

\(d(A,\Delta ) = {{|\overrightarrow n |} \over {|\overrightarrow a |}} = {{\sqrt {4 + 4 + 0} } \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {{2\sqrt 2 } \over 3}\)

Vậy khoảng cách từ điểm A đến  \(\Delta \) là \({{2\sqrt 2 } \over 3}\).

Bài 3.37: Cho đường thẳng  \(\Delta :{{x + 3} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z + 1} \over 2}\)   và mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – 2y + z + 3 = 0

a) Chứng minh rằng  \(\Delta \) song song với \((\alpha )\).

b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \)  và \((\alpha )\)

a) Ta có:  \(\overrightarrow {{a_\Delta }}  = (2;3;2)\)  và \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2; – 2;1)\)

       \(\overrightarrow {{a_\Delta }} .\overrightarrow {{n_\alpha }}  = 4 – 6 + 2 = 0\)  (1)

Xét  điểm  M₀(-3; -1; -1)  thuộc \(\Delta \)  , ta thấy tọa độ M₀ không thỏa mãn phương trình của \((\alpha )\) . Vậy  \({M_0} \notin (\alpha )\)        (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra  \(\Delta //(\alpha )\)

b) \(d(\Delta ,(\alpha )) = d({M_0},(\alpha )) = {{|2.( – 3) – 2.( – 1) + ( – 1) + 3|} \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {2 \over 3}\)

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \)  và mặt phẳng \((\alpha )\) là \({2 \over 3}\).

Bài 3.38: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) trong các trường hợp sau:

a)\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = – 1 – t} \cr {z = 1} \cr} } \right.\)  và  \(\Delta ‘:\left\{ {\matrix{{x = 2 – 3t’} \cr {y = 2 + 3t’} \cr {z = 3t’} \cr} } \right.\)

b)\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 – t} \cr {z = – 1 + 2t} \cr} } \right.\)  và    \(\Delta ‘:\left\{ {\matrix{{x = t’} \cr {y = 2 – 3t’} \cr {z = – 3t’} \cr} } \right.\)

a) Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta ‘\). Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là:   \(\overrightarrow a  = (1; – 1;0)\) và \(\overrightarrow a ‘ = ( – 1;1;1)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = ( – 1; – 1;0)\)

\((\alpha )\) đi qua điểm M₁(1; -1; 1) thuộc \(\Delta \) và có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow {{n_{\alpha ‘}}}  = (1;1;0)\)

Vậy phưong trình của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng  x – 1 + y + 1=   hay x + y = 0

Ta có:  M₂((2; 2; 0) thuộc đường thẳng \(\Delta ‘\)

      \(d(\Delta ,\Delta ‘) = d({M_2},(\alpha )) = {{|2 + 2|} \over {\sqrt {1 + 1} }} = 2\sqrt 2 \)

b) Hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) có phương trình là:

\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 – t} \cr {z = – 1 + 2t} \cr} } \right.\)     và \(\Delta ‘:\left\{ {\matrix{{x = t’} \cr {y = 2 – 3t’} \cr {z = – 3t’} \cr} } \right.\)

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta ‘\) là 9x + 5y – 2z – 22 = 0

Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên \(\Delta ‘\) .

Ta có \(d(\Delta ,\Delta ‘) = d(M’,(\alpha )) = {{|5.(2) – 22|} \over {\sqrt {81 + 25 + 4} }} = {{12} \over {\sqrt {110} }}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và  \(\Delta ‘\)  là \({{12} \over {\sqrt {110} }}\).

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 3.35, 3.36, 3.37, 3.38 trang trang 129, 130 SBT Hình học 12: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau ?” state=”close”]
Bài 3 Phương trình đường thẳng SBT Toán lớp 12. Giải bài 3.35, 3.36, 3.37, 3.38 trang trang 129, 130 Sách bài tập Hình học 12. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng trong các trường hợp sau ?; Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau ?

Bài 3.35: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau

a) \(d:\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 1 + 2t} \cr {z = 1 – t} \cr} } \right.\)   và  \((\alpha )\) : x + 2y + z – 3 = 0

b)  d: \(\left\{ {\matrix{{x = 2 – t} \cr {y = t} \cr {z = 2 + t} \cr} } \right.\) và \((\alpha )\)  : x + z + 5 = 0

c)\(d:\left\{ {\matrix{{x = 3 – t} \cr {y = 2 – t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.\)   và \((\alpha )\)  : x +y + z -6 = 0

a) Thay x, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng d  vào phương trình tổng quát của mặt phẳng  \((\alpha )\)  ta được:  t + 2(1 + 2t) + (1 – t) – 3 = 0

⟺ 4t = 0 ⟺ t = 0

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng \((\alpha )\)   tại M₀(0; 1; 1).

b) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát  của \((\alpha )\)  ta được: (2 – t)  +(2 + t) + 5 = 0 ⟺ 0t = -9

Phương trình vô nghiệm, vậy đường thẳng d song song với \((\alpha )\)

c) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của \((\alpha )\)  ta được:  (3 – t) + (2 – t) + (1 + 2t) – 6 = 0 ⟺ 0t  = 0

Phương trình luôn thỏa mãn với mọi t. Vậy d chứa trong \((\alpha )\) .

Bài 3.36: Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng \(\Delta :{{x – 1} \over 2} = {y \over 2} = {z \over 1}\)

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm M₀(1; 0; 0) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a  = (2;2;1)\) .

Ta có \(\overrightarrow {{M_0}A}  = (0;0;1),\overrightarrow n  = \overrightarrow a  \wedge \overrightarrow {{M_0}A}  = (2; – 2;0)\) .

\(d(A,\Delta ) = {{|\overrightarrow n |} \over {|\overrightarrow a |}} = {{\sqrt {4 + 4 + 0} } \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {{2\sqrt 2 } \over 3}\)

Vậy khoảng cách từ điểm A đến  \(\Delta \) là \({{2\sqrt 2 } \over 3}\).

Bài 3.37: Cho đường thẳng  \(\Delta :{{x + 3} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z + 1} \over 2}\)   và mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – 2y + z + 3 = 0

a) Chứng minh rằng  \(\Delta \) song song với \((\alpha )\).

b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \)  và \((\alpha )\)

a) Ta có:  \(\overrightarrow {{a_\Delta }}  = (2;3;2)\)  và \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2; – 2;1)\)

       \(\overrightarrow {{a_\Delta }} .\overrightarrow {{n_\alpha }}  = 4 – 6 + 2 = 0\)  (1)

Xét  điểm  M₀(-3; -1; -1)  thuộc \(\Delta \)  , ta thấy tọa độ M₀ không thỏa mãn phương trình của \((\alpha )\) . Vậy  \({M_0} \notin (\alpha )\)        (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra  \(\Delta //(\alpha )\)

b) \(d(\Delta ,(\alpha )) = d({M_0},(\alpha )) = {{|2.( – 3) – 2.( – 1) + ( – 1) + 3|} \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {2 \over 3}\)

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \)  và mặt phẳng \((\alpha )\) là \({2 \over 3}\).

Bài 3.38: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) trong các trường hợp sau:

a)\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = – 1 – t} \cr {z = 1} \cr} } \right.\)  và  \(\Delta ‘:\left\{ {\matrix{{x = 2 – 3t’} \cr {y = 2 + 3t’} \cr {z = 3t’} \cr} } \right.\)

b)\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 – t} \cr {z = – 1 + 2t} \cr} } \right.\)  và    \(\Delta ‘:\left\{ {\matrix{{x = t’} \cr {y = 2 – 3t’} \cr {z = – 3t’} \cr} } \right.\)

a) Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta ‘\). Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là:   \(\overrightarrow a  = (1; – 1;0)\) và \(\overrightarrow a ‘ = ( – 1;1;1)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = ( – 1; – 1;0)\)

\((\alpha )\) đi qua điểm M₁(1; -1; 1) thuộc \(\Delta \) và có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow {{n_{\alpha ‘}}}  = (1;1;0)\)

Vậy phưong trình của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng  x – 1 + y + 1=   hay x + y = 0

Ta có:  M₂((2; 2; 0) thuộc đường thẳng \(\Delta ‘\)

      \(d(\Delta ,\Delta ‘) = d({M_2},(\alpha )) = {{|2 + 2|} \over {\sqrt {1 + 1} }} = 2\sqrt 2 \)

b) Hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) có phương trình là:

\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 – t} \cr {z = – 1 + 2t} \cr} } \right.\)     và \(\Delta ‘:\left\{ {\matrix{{x = t’} \cr {y = 2 – 3t’} \cr {z = – 3t’} \cr} } \right.\)

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta ‘\) là 9x + 5y – 2z – 22 = 0

Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên \(\Delta ‘\) .

Ta có \(d(\Delta ,\Delta ‘) = d(M’,(\alpha )) = {{|5.(2) – 22|} \over {\sqrt {81 + 25 + 4} }} = {{12} \over {\sqrt {110} }}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và  \(\Delta ‘\)  là \({{12} \over {\sqrt {110} }}\).

[/toggle]