Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, (SA bot left( {ABC} right)), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng (60^0). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng \(60^0\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB. 

A.
\(\frac{{a\sqrt {15} }}{5}.\)

B.
\(\frac{{a\sqrt {2} }}{2}.\)

C.
\(\frac{{a\sqrt {7} }}{7}.\)

D.
\(2a\)

Đáp án đúng: A

Bạn đang xem: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, (SA bot left( {ABC} right)), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng (60^0). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.

Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AB\) là hình chiếu của SB lên (ABC).

\(\angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA = {60^0}\).

Dựng hình bình hành ACBD.

Ta có

\(BD//AC \Rightarrow \left( {SBD} \right)//AC \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AC;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\).

 Do tam giác ABC đều \( \Rightarrow AC = CB = AB = a\).

Mà \(AC = BD;CB = AD \Rightarrow AB = AD = BD = a \Rightarrow \Delta ABD\) đều cạnh a.

Gọi M là trung điểm của \(BD \Rightarrow AM \bot BD\) và \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
BD \bot AM\\
BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAM} \right)\).

Trong (SAM) kẻ \(AH \bot SM \Rightarrow AH \bot BD\left( {BD \bot \left( {SAM} \right)} \right) \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AH \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = AH\).

Xét tam giác vuông SAB ta có \(SA = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAM ta có: \(AH = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 .\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {3{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}.\)     

Vậy \(d\left( {AC;SB} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}.\)