Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để trong tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn ({log _{{x^2} + {y^2} + 2}}

Câu hỏi:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để trong tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}(4x + 4y – 4) \ge 1\) đồng thời tồn tại duy nhất cặp (x;y) sao cho \(3x – 4y + m = 0\). Tính tổng các giá trị của S.

A.
20

B.
4

C.
12

D.
8

Đáp án đúng: B

Bạn đang xem: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để trong tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn ({log _{{x^2} + {y^2} + 2}}

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}(4x + 4y – 4) \ge 1\\
 \Leftrightarrow 4x + 4y – 4 \ge {x^2} + {y^2} + 2\\
 \Leftrightarrow 2 \ge {(x – 2)^2} + {(y – 2)^2}\;(1)
\end{array}\)

Lại có tồn tại duy nhất cặp sao cho \(3x – 4y + m = 0\).

Suy ra : \(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} \le 2\\
3x – 4y + m = 0
\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất.

Hay đường thẳng tiếp xúc với hình tròn.

\({d_{\left( {I;\Delta } \right)}} = \frac{{\left| {6 – 8 + m} \right|}}{5} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 12\\
m =  – 8
\end{array} \right.\)

Vậy tổng các giá trị của S là 4.