Cho phương trình ({5^x} + m = {log _5}left( {x – m} ight)) với m là tham số.

Câu hỏi:

Cho phương trình \({5^x} + m = {\log _5}\left( {x – m} \right)\) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left( { – 20;20} \right)\) để phương trình đã cho có nghiệm?

A.
20

B.
19

C.
9

D.
21

Đáp án đúng: B

Bạn đang xem: Cho phương trình ({5^x} + m = {log _5}left( {x – m} ight)) với m là tham số.

Điều kiện x > m 

Ta có \({5^x} + m = {\log _5}\left( {x – m} \right) \Leftrightarrow {5^x} + x = x – m + {\log _5}\left( {x – m} \right) \Leftrightarrow {5^x} + x = {5^{{{\log }_5}\left( {x – m} \right)}} + {\log _5}\left( {x – m} \right)\) (1) .

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {5^t} + tf’\left( t \right) = {5^t}\ln 5 + 1 > 0,\forall t \in R\), do đó từ (1) suy ra \(x = {\log _5}\left( {x – m} \right) \Leftrightarrow m = x – {5^x}\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = x – {5^x},g’\left( x \right) = 1 – {5^x}.\ln 5,g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = {\log _5}\frac{1}{{\ln 5}} =  – {\log _5}\ln 5 = {x_0}\).

Bảng biến thiên

Do đó để phương trình có nghiệm thì \(m \le g\left( {{x_0}} \right) \approx  – 0,92\).

Các giá trị nguyên của \(m \in \left( { – 20;20} \right)\) là {-19; =18;…;-1}, có 19 giá trị m thỏa mãn.