Cho số phức (z = a + bi) thỏa mãn (left| {z – i} right| = 2) và (left| {z + 3i} right| + 2left| {z – 4 – i} right|) 

Câu hỏi:

Cho số phức \(z = a + bi\) thỏa mãn \(\left| {z – i} \right| = 2\) và \(\left| {z + 3i} \right| + 2\left| {z – 4 – i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng a + b bằng

A.
\(\frac{{3 + 6\sqrt {13} }}{{17}}\)

B.
\(\frac{{3 + 2\sqrt {13} }}{{17}}\)

C.
\(\frac{{5 + 10\sqrt {13} }}{{17}}\)

D.
\(\frac{{5 – 10\sqrt {13} }}{{17}}\)

Đáp án đúng: C

Bạn đang xem: Cho số phức (z = a + bi) thỏa mãn (left| {z – i} right| = 2) và (left| {z + 3i} right| + 2left| {z – 4 – i} right|) 

Gọi M(a,b) là điểm biểu diễn của z

\(\begin{array}{l}
|z – i| = 2\\
 <  =  > \sqrt {{a^2} + {{(b – 1)}^2}}  = 2\\
 <  =  > {a^2} + {(b – 1)^2} = 4
\end{array}\)

=> M thuộc đường tròn (C) tâm I(0,1), R = 2

\(\begin{array}{l}
|z + 3i| + 2|z – 4 – i| = \sqrt {{a^2} + {{(b + 3)}^2}}  + 2\sqrt {{{(a – 4)}^2} + {{(b – 1)}^2}} \\
 = MA + 2MB{\rm{        (A(0, – 3),B(4,1))}}\\
{\rm{ = 2MO + 2MB}}\\
 = 2(MO + MB)\\
 \ge 2OB
\end{array}\)

=> Dấu “=” khi M nằm trên OB

Mà M nằm trên (C)  => M là giao điểm của (C) và OB

=> \(M(\frac{{4 + 8\sqrt {13} }}{{17}};\frac{{1 + 2\sqrt {13} }}{{17}})\)

(Vì hoàng độ điểm M phải dương, vì hoành độ B dương, vẽ hình minh họa sẽ thấy)

=> \(a + b = \frac{{4 + 8\sqrt {13} }}{{17}} + \frac{{1 + 2\sqrt {13} }}{{17}} = \frac{{5 + 10\sqrt {13} }}{{17}}\)