Cho hàm số (y = {x^3} – 2m{x^2} + left( {{m^2} – 3} right)x + {m^2} + 2m,,left( C right)). Khi tham số thực m thay đổi nhận thấy đồ thị (C) luôn tiếp xúc với một parabol cố định (P). Gọi tọa độ đỉnh của parabol (P) là (Ileft( {{x_I};{y_I}} right).) Khi đó giá trị (T = {x_I} – 2{y_I}) là

Câu hỏi:

Cho hàm số \(y = {x^3} – 2m{x^2} + \left( {{m^2} – 3} \right)x + {m^2} + 2m\,\,\left( C \right)\). Khi tham số thực m thay đổi nhận thấy đồ thị (C) luôn tiếp xúc với một parabol cố định (P). Gọi tọa độ đỉnh của parabol (P) là \(I\left( {{x_I};{y_I}} \right).\) Khi đó giá trị \(T = {x_I} – 2{y_I}\) là

A.
1

B.
– 3

C.
4

D.
5

Đáp án đúng: D

Bạn đang xem: Cho hàm số (y = {x^3} – 2m{x^2} + left( {{m^2} – 3} right)x + {m^2} + 2m,,left( C right)). Khi tham số thực m thay đổi nhận thấy đồ thị (C) luôn tiếp xúc với một parabol cố định (P). Gọi tọa độ đỉnh của parabol (P) là (Ileft( {{x_I};{y_I}} right).) Khi đó giá trị (T = {x_I} – 2{y_I}) là

Để (C) tiếp xúc (P) thì phương trình hoành độ giao điểm phải có nghiệm bội 2 trở nên. Tức là hàm số \(y=f(x)\) sẽ được phân tích dưới dạng: \(\left[ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = {\left( {x – {x_1}} \right)^3} + \left( {a{x^2} + bx + c} \right)\\
f\left( x \right) = {\left( {x – {x_2}} \right)^2}\left( {x – {x_3}} \right) + \left( {a{x^2} + bx + c} \right)
\end{array} \right.\)  trong

đó các hệ số thực \(a, b, c\) là cố định không phụ thuộc vào tham số.

Ta có \(y = {x^3} – 2m{x^2} + \left( {{m^2} – 3} \right)x + {m^2} + 2m = {\left( {x – m – 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right) + {x^2} – 2x – 1\)

Suy ra parabol cố định là: \(\left( P \right):y = {x^2} – 2x – 1\). Đỉnh I(1;- 2) \( \Rightarrow {x_I} – 2{y_I} = 5\)