Giải Bài 2.5, 2.6, 2.7, 2.8 trang 112 SBT Đại số và giải tích 11: Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm ?

monica Tháng Mười 19, 2022

0 6 phút

Bài 2 Dãy số SBT Toán lớp 11. Giải bài 2.5, 2.6, 2.7, 2.8 trang 112. Câu 2.5: Cho dãy số (un) với…; Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm ?

Bài 2.5: Cho dãy số (u_n) với $\left( {{u_n}} \right) = 1 + \left( {n – 1} \right){.2^n}$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số ;

Bạn đang xem: Giải Bài 2.5, 2.6, 2.7, 2.8 trang 112 SBT Đại số và giải tích 11: Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm ?

b) Tìm công thức truy hồi ;

c) Chứng minh (u_n) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

a) Học sinh tự giải.

b) HD: Tìm hiệu ${u_{n + 1}} – {u_n}$

ĐS:

$\left\{ \matrix{
{u_1} = 1 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( {n + 1} \right){2^n}{\rm\,\,{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.$

c) HD: Xét dấu ${u_{n + 1}} – {u_n}$

Bài 2.6: Các dãy số (u_n), (v_n)được xác định bằng công thức

a) $\left\{ \matrix{
{u_1} = 1 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {u_n} + {n^3}{\rm{ voi }}n \ge 1; \hfill \cr} \right.$

b) $\left\{ \matrix{
{v_1} = 2 \hfill \cr
{v_{n + 1}} = v_n^2{\rm{ }}voi{\rm{ }}n \ge 1 \hfill \cr} \right.$

Tìm công thức tính (u_n), (v_n) theo n. Tính số hạng thứ 100 của dãy số (u_n). Hỏi số 4294967296 là số hạng thứ mấy của dãy số (v_n)

a) Từ ${u_{n + 1}} – {u_n} = {n^3}$ ta có

$\eqalign{
& {u_1} = 1; \cr
& {u_2} – {u_1} = {1^3}; \cr
& {u_3} – {u_2} = {2^3}; \cr
& … \cr
& {u_{n – 1}} – {u_{n – 2}} = {\left( {n – 2} \right)^3}; \cr
& {u_n} – {u_{n – 1}} = {\left( {n – 1} \right)^3}. \cr} $

Cộng từng vế n đẳng thức trên và rút gọn, ta được

${u_n} = 1 + {1^3} + {2^3} + … + {\left( {n – 1} \right)^3}$

Sử dụng kết quả bài tập 12 b) – ta có

${1^3} + {2^3} + … + {\left( {n – 1} \right)^3} = {{{{\left( {n – 1} \right)}^2}{n^2}} \over 4}$

Vậy $\eqalign{
& {u_n} = 1 + {{{n^2}{{\left( {n – 1} \right)}^2}} \over 4}. \cr
& {u_{100}} = 24502501. \cr} $

b) Hãy viết một vài số hạng đầu của dãy và quan sát

$\eqalign{
& {v_1} = 2; \cr
& {v_2} = v_1^2 = {2^2}; \cr
& {v_3} = v_2^2 = {2^4} = {2^{{2^2}}}; \cr
& {v_4} = v_3^2 = {2^8} = {2^{{2^3}}} \cr} $

Từ đây dự đoán ${v_n} = {2^{{2^{n – 1}}}}$

Công thức trên dễ dàng chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Số 4294967296 là số hạng thứ sáu của dãy số (v_n)

Bài 2.7: Dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ được biểu diễn trên trục số bởi tập hợp các điểm, kí hiệu là A :

$$A = \left\{ {{A_0},{A_1},{A_2},…,{A_n}} \right\}$$

Gọi B là điểm nằm ngoài trục số. Người ta dựng các tam giác đỉnh B và hai đỉnh còn lại thuộc tập hợp A.

Đặt u_n là số các tam giác được tạo thành từ B và hai trong số n + 1 điểm ${A_0},{A_1},{A_2},…,{A_n}$ rồi lập dãy số u_n

a) Tính ${u_1},{u_2},{u_3},{u_4}$ ;

b) Chứng minh rằng ${u_n} = C_{n + 1}^2$ và \9{u_{n + 1}} = {u_n} + n + 1\)

$\eqalign{
& {u_1} = 1 \cr
& {u_2} = 3 \cr
& {u_3} = 6 \cr
& {u_4} = 10 \cr} $

b) Số các tam giác u_n tạo thành từ B và n + 1 điểm chính là số tổ hợp chập 2 của n + 1 phần tử:

Áp dụng công thức $C_n^k = C_{n – 1}^k + C_{n – 1}^{k – 1}$

Ta có $C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^2 + C_{n + 1}^1$

Hay ${u_{n + 1}} = {u_n} + n + 1$

Bài 2.8: Cho dãy số (u_n) thoả mãn điều kiện: Với mọi n ∈ N* thì $0 < {u_n} < 1$ và ${u_{n + 1}} < 1 – {1 \over {4{u_n}}}$

Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm.

Vì $0 < {u_n} < 1$ với mọi n nên $1 – {u_{n + 1}} > 0$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có ${u_{n + 1}}\left( {1 – {u_{n + 1}}} \right) \le {1 \over 4}$

Mặt khác, từ giả thiết ${u_{n + 1}} < 1 – {1 \over {4{u_n}}}$

suy ra ${u_{n + 1}}.{u_n} < {u_n} – {1 \over 4}$ hay ${1 \over 4} < {u_n}\left( {1 – {u_{n + 1}}} \right)$

So sánh (1) và (2) ta có:

${u_{n + 1}}\left( {1 – {u_{n + 1}}} \right) < {u_n}\left( {1 – {u_{n + 1}}} \right)$ hay ${u_{n + 1}} < {u_n}$

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 2.5, 2.6, 2.7, 2.8 trang 112 SBT Đại số và giải tích 11: Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm ?” state=”close”]
Bài 2 Dãy số SBT Toán lớp 11. Giải bài 2.5, 2.6, 2.7, 2.8 trang 112. Câu 2.5: Cho dãy số (un) với…; Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm ?