Bài 2 Cực trị của hàm số. Giải bài 4, 5, 6 trang 18 SGK Giải tích 12. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số, hàm số sau luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu; Xác định giá trị của tham số
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \(m\), hàm số
\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}m{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\)
Bạn đang xem: Giải Bài 4, 5, 6 trang 18 Giải tích 12: Cực trị của hàm số
luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2mx{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }},\Delta ‘ = {\rm{ }}{m^{2}} + {\rm{ }}6{\rm{ }} > {\rm{ }}0\) nên \(y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt và \(y’\) đổi dấu khi qua các nghiệm đó.
Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.
Bài 5: Tìm \(a\) và \(b\) để các cực trị của hàm số
\(y=\frac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b\)
đều là những số dương và \(x_{0}=-\frac{5}{9}\) là điểm cực đại.
– Xét \(a = 0\) hàm số trở thành \(y = -9x + b\). Trường hợp này hàm số không có cực trị.
– Xét \(a \ne 0\). Ta có : \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}5{a^2}{x^2} + {\rm{ }}4ax{\rm{ }}-{\rm{ }}9\); \(y’= 0 \)\(⇔ x=-\frac{1}{a}\) hoặc \(x=-\frac{9}{5a}\)
– Với \(a < 0\) ta có bảng biến thiên :
Theo giả thiết \(x_{0}=-\frac{5}{9}\) là điểm cực đại nên \(\frac{1}{a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=\frac{9}{5}\). Theo yêu cầu bài toán thì
\(y_{(CT)}=y\left ( -\frac{9}{5a} \right )=y(1)>0\)
\(\Leftrightarrow \frac{5}{3}\cdot \left ( -\frac{9}{5} \right )^{2}+2\cdot \left ( -\frac{9}{5} \right )-9+b>0\Leftrightarrow b>\frac{36}{5}.\)
– Với \(a > 0\) ta có bảng biến thiên :
Vì \(x_{0}=-\frac{5}{9}\) là điểm cực đại nên \(-\frac{9}{5a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=\frac{81}{25}\). Theo yêu cầu bài toán thì: \(y_{(ct)}=y\left ( \frac{1}{a} \right )=y\left ( \frac{25}{81} \right )>0\)
\(\Leftrightarrow \frac{5}{3}\cdot \left ( \frac{81}{25} \right )^{2}\left ( \frac{25}{81} \right )^{3}+2.\frac{81}{25}\cdot \left ( \frac{25}{81} \right )^{2}-9\cdot \frac{25}{81}+b>0\)
\(\Leftrightarrow b>\frac{400}{243}.\)
Vậy các giá trị \(a, b\) cần tìm là:
\(\left\{\begin{matrix} a=-\frac{9}{5} & \\ b>\frac{36}{5} & \end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} a=\frac{81}{25} & \\ b>\frac{400}{243} & \end{matrix}\right.\).
Bài 6 trang 18 sách sgk giải tích 12
Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=\frac{x^{2}+mx+1}{x+m}\) đạt cực đại tại \(x = 2\).
Tập xác định : \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -m \right \};\)
\(y’=\frac{2x^{2}+2mx+m^{2}-1}{(x+m)^{2}}.\)
Nếu hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\) thì \(y'(2) = 0\) \(⇔ {m^{2}} + {\rm{ }}4m{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)\( ⇔ m=-1\) hoặc \(m=-3\)
– Với \(m = -1\), ta có : \(y=\frac{x^{2}-x+1}{x-1};\)
\(y’=\frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}; y’=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2} -2x=0& \\ x\neq 1 & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2\).
Ta có bảng biến thiên :
Trường hợp này ta thấy hàm số không đạt cực đại tại \(x = 2\).
– Với \(m = -3\), ta có: \(y=\frac{x^{2}3x+1}{x-3};\)
\(y’=\frac{x^{2}-6x+8}{(x-3)^{2}};y’=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2-6x+8=0} & \\ x\neq 3 & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=2\) hoặc \(x=4\)
Ta có bảng biến thiên :
Trường hợp này ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\).
Vậy \(m = -3\) là giá trị cần tìm.
Đăng bởi: Monica.vn
Chuyên mục: Giải bài tập
[toggle title=”Xem thêm Bài 4, 5, 6 trang 18 Giải tích 12: Cực trị của hàm số” state=”close”] Bài 2 Cực trị của hàm số. Giải bài 4, 5, 6 trang 18 SGK Giải tích 12. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số, hàm số sau luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu; Xác định giá trị của tham số
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \(m\), hàm số
\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}m{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\)
luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2mx{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }},\Delta ‘ = {\rm{ }}{m^{2}} + {\rm{ }}6{\rm{ }} > {\rm{ }}0\) nên \(y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt và \(y’\) đổi dấu khi qua các nghiệm đó.
Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.
Bài 5: Tìm \(a\) và \(b\) để các cực trị của hàm số
\(y=\frac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b\)
đều là những số dương và \(x_{0}=-\frac{5}{9}\) là điểm cực đại.
– Xét \(a = 0\) hàm số trở thành \(y = -9x + b\). Trường hợp này hàm số không có cực trị.
– Xét \(a \ne 0\). Ta có : \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}5{a^2}{x^2} + {\rm{ }}4ax{\rm{ }}-{\rm{ }}9\); \(y’= 0 \)\(⇔ x=-\frac{1}{a}\) hoặc \(x=-\frac{9}{5a}\)
– Với \(a < 0\) ta có bảng biến thiên :
Theo giả thiết \(x_{0}=-\frac{5}{9}\) là điểm cực đại nên \(\frac{1}{a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=\frac{9}{5}\). Theo yêu cầu bài toán thì
\(y_{(CT)}=y\left ( -\frac{9}{5a} \right )=y(1)>0\)
\(\Leftrightarrow \frac{5}{3}\cdot \left ( -\frac{9}{5} \right )^{2}+2\cdot \left ( -\frac{9}{5} \right )-9+b>0\Leftrightarrow b>\frac{36}{5}.\)
– Với \(a > 0\) ta có bảng biến thiên :
Vì \(x_{0}=-\frac{5}{9}\) là điểm cực đại nên \(-\frac{9}{5a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=\frac{81}{25}\). Theo yêu cầu bài toán thì: \(y_{(ct)}=y\left ( \frac{1}{a} \right )=y\left ( \frac{25}{81} \right )>0\)
\(\Leftrightarrow \frac{5}{3}\cdot \left ( \frac{81}{25} \right )^{2}\left ( \frac{25}{81} \right )^{3}+2.\frac{81}{25}\cdot \left ( \frac{25}{81} \right )^{2}-9\cdot \frac{25}{81}+b>0\)
\(\Leftrightarrow b>\frac{400}{243}.\)
Vậy các giá trị \(a, b\) cần tìm là:
\(\left\{\begin{matrix} a=-\frac{9}{5} & \\ b>\frac{36}{5} & \end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} a=\frac{81}{25} & \\ b>\frac{400}{243} & \end{matrix}\right.\).
Bài 6 trang 18 sách sgk giải tích 12
Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=\frac{x^{2}+mx+1}{x+m}\) đạt cực đại tại \(x = 2\).
Tập xác định : \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -m \right \};\)
\(y’=\frac{2x^{2}+2mx+m^{2}-1}{(x+m)^{2}}.\)
Nếu hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\) thì \(y'(2) = 0\) \(⇔ {m^{2}} + {\rm{ }}4m{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)\( ⇔ m=-1\) hoặc \(m=-3\)
– Với \(m = -1\), ta có : \(y=\frac{x^{2}-x+1}{x-1};\)
\(y’=\frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}; y’=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2} -2x=0& \\ x\neq 1 & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2\).
Ta có bảng biến thiên :
Trường hợp này ta thấy hàm số không đạt cực đại tại \(x = 2\).
– Với \(m = -3\), ta có: \(y=\frac{x^{2}3x+1}{x-3};\)
\(y’=\frac{x^{2}-6x+8}{(x-3)^{2}};y’=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2-6x+8=0} & \\ x\neq 3 & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=2\) hoặc \(x=4\)
Ta có bảng biến thiên :
Trường hợp này ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\).
Vậy \(m = -3\) là giá trị cần tìm.
[/toggle]
