Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a. Gọi M là trung điểm AD và góc tạo bởi mặt phẳng (SCM) và mặt đáy bằng 600.

Câu hỏi:

Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a. Gọi M là trung điểm AD và góc tạo bởi mặt phẳng (SCM) và mặt đáy bằng 60⁰. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{{30}}\)

B.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{{10}}\)

C.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{15}}\)

D.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{5}\)

Đáp án đúng: A

Bạn đang xem: Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a. Gọi M là trung điểm AD và góc tạo bởi mặt phẳng (SCM) và mặt đáy bằng 600.

Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\)

Do S.ABCD là hình chóp đều nên \(SO\bot (ABCD)\)

Kẻ \(OI \bot DM\left( {I \in DM} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {\left( {SCM} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = SIO = {60^0}\)

Do ABCD là hình vuông cạnh a nên \({S_{ABCD}} = {a^2}\)

Ta có: \(DM = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2}\)

Xét tam giác CDM ta có:

\(\begin{array}{l}
CM = \sqrt {C{D^2} + D{M^2}} \\
 = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}
\end{array}\)

Mặt khác: \({S_{COM}} = \frac{1}{2}{S_{CAM}}\)

\( = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}{S_{ABCD}} = \frac{{{a^2}}}{8}\)

Suy ra \(OI = \frac{{2{S_{COM}}}}{{CM}} = \frac{{2{a^2}}}{8}:\frac{{a\sqrt 5 }}{2} = \frac{{a\sqrt 5 }}{{10}}\)

\( \Rightarrow SO = OI.\tan SIO = \frac{{a\sqrt 5 }}{{10}}\)

Vậy \(V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\)

\( = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{{30}}\)