Cho biết (intlimits_1^3 {frac{{dx}}{{{e^x} – 1}}}  = aln ({e^2} + e + 1) – 2b) với a, b là các số nguyên.

Câu hỏi:

Cho biết \(\int\limits_1^3 {\frac{{dx}}{{{e^x} – 1}}}  = a\ln ({e^2} + e + 1) – 2b\) với a, b là các số nguyên. Tính K = a + b 

A.
K = 2

B.
K = 6

C.
K = 5

D.
K = 9

Đáp án đúng: A

Bạn đang xem: Cho biết (intlimits_1^3 {frac{{dx}}{{{e^x} – 1}}}  = aln ({e^2} + e + 1) – 2b) với a, b là các số nguyên.

\(\begin{array}{l}
\int\limits_1^3 {\frac{{dx}}{{{e^x} – 1}}}  = \int\limits_1^3 {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x}({e^x} – 1)}}}  = \int\limits_1^3 {\frac{{d({e^x})}}{{{e^x}({e^x} – 1)}}} \\
 = \int\limits_1^3 {(\frac{{d({e^x} – 1)}}{{{e^x} – 1}} – } \frac{{d({e^x})}}{{{e^x}}})\\
 = (\ln \left| {{e^x} – 1} \right| – \ln \left| {{e^x}} \right|)\left| \begin{array}{l}
3\\
1
\end{array} \right.\\
 = \ln ({e^3} – 1) – \ln {e^3} – \ln (e – 1) + \ln e\\
 = \ln ({e^2} + e + 1) – 2\\
 \Rightarrow a\ln ({e^2} + e + 1) – 2b = \ln ({e^2} + e + 1) – 2\\
 \Rightarrow a = 1;b = 1 \Rightarrow K = a + b = 2
\end{array}\)