Giải Bài 2. Dãy số: Giải bài 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 trang 105, 106, 109 Sách Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải bài 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 trang 105, 106, 109 – Bài 2. Dãy số SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Câu 9: Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số sau: Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {{2{n^2} – 3} \over n}\)

Câu 9. Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {{2{n^2} – 3} \over n}\)

Bạn đang xem: Giải Bài 2. Dãy số: Giải bài 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 trang 105, 106, 109 Sách Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

b. Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {\sin ^2}{{n\pi } \over 4} + \cos {{2n\pi } \over 3}\)

c. Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {\left( { – 1} \right)^n}.\sqrt {{4^n}} \)

a. Ta có

\(\eqalign{
& {u_1} = {{{{2.1}^2} – 3} \over 1} = – 1 \cr
& {u_2} = {{{{2.2}^2} – 3} \over 2} = {5 \over 2} \cr
& {u_3} = {{{{2.3}^2} – 3} \over 3} = 5 \cr
& {u_4} = {{{{2.4}^2} – 3} \over 4} = {{29} \over 4} \cr
& {u_5} = {{{{2.5}^2} – 3} \over 5} = {{47} \over 5} \cr} \)

b.

\(\eqalign{
& {u_1} = {\sin ^2}{\pi \over 4} + \cos {{2\pi } \over 3} = {1 \over 2} – {1 \over 2} = 0 \cr
& {u_2} = {\sin ^2}{\pi \over 2} + \cos {{4\pi } \over 3} = 1 – {1 \over 2} = {1 \over 2} \cr
& {u_3} = {\sin ^2}{{3\pi } \over 4} + \cos 2\pi = {1 \over 2} + 1 = {3 \over 2} \cr
& {u_4} = {\sin ^2}\pi + \cos {{8\pi } \over 3} = \cos \left( {2\pi + {{2\pi } \over 3}} \right) = – {1 \over 2} \cr
& {u_5} = {\sin ^2}{{5\pi } \over 4} + \cos {{10\pi } \over 3} = {1 \over 2} – {1 \over 2} = 0 \cr} \)

c.

\(\eqalign{
& {u_1} = – 2 \cr
& {u_2} = 4 \cr
& {u_3} = – 8 \cr
& {u_4} = 16 \cr
& {u_5} = – 32 \cr} \)

---

Câu 10. Tìm số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 của mỗi dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) xác định bởi :

\({u_1} = 0\,\text{ và }\,{u_n} = {2 \over {u_{n – 1}^2 + 1}}\) với mọi \(n ≥ 2\) ;

b. Dãy số (u_n) xác định bởi :

\({u_1} = 1,{u_2} = – 2\,\text{ và }\,u_n={u_{n – 1}} – 2{u_{n – 2}}\) với mọi \(n ≥ 3\).

a. Ta có:

\(\eqalign{
& {u_2} = {2 \over {u_1^2 + 1}} = 2 \cr
& {u_3} = {2 \over {u_2^2 + 1}} = {2 \over {{2^2} + 1}} = {2 \over 5} \cr
& {u_4} = {2 \over {u_3^2 + 1}} = {2 \over {{4 \over {25}} + 1}} = {{50} \over {29}} \cr
& {u_5} = {2 \over {u_4^2 + 1}} = {2 \over {{{\left( {{{50} \over {29}}} \right)}^2} + 1}} = {{1682} \over {3341}} \cr} \)

b. Ta có:

\(\eqalign{
& {u_3} = {u_2} – 2{u_1} = – 2 – 2.1 = – 4 \cr
& {u_4} = {u_3} – 2{u_2} = – 4 – 2\left( { – 2} \right) = 0 \cr
& {u_5} = {u_4} – 2{u_3} = 0-2.(-4)=8 \cr} \)

---

Câu 11. Cho hình vuông A₁B₁C₁D₁ có các cạnh bằng 6cm. Người ta dựng các hình vuông A₂B₂C₂D₂, A₃B₃C₃D₃, …, A_nB_nC_nD_n, … theo cách sau : Với mỗi n = 2, 3, 4, … lấy các điểm A_n, B_n , C_n, và D_n tương ứng trên các cạnh A_n-1B_n-1, B_n-1C_n-1, C_n-1D_n-1và D_n-1A_n-1 sao cho A_n-1A_n = 1cm và A_nB_nC_nD_n là một hình vuông (h.3.2). Xét dãy số (u_n) với u_n là độ dài cạnh của hình vuông A_nB_nC_nD_n.

Hãy cho dãy số (u_n) nói trên bởi hệ thức truy hồi.

Với mỗi \(n \in \mathbb N^*\), xét các hình vuông \({A_n}{B_n}{C_n}{D_n}\) và \({A_{n + 1}}{B_{n + 1}}{C_{n + 1}}{D_{n + 1}},\) ta có

\(\eqalign{& {u_{n + 1}} = {A_{n + 1}}{B_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {{A_{n + 1}}{B_n}} \right)}^2} +{{\left( {{B_n}{B_{n + 1}}} \right)}^2}} \cr & = \sqrt {{{\left( {{A_n}{B_n} – 1} \right)}^2} + {1^2}} \cr & = \sqrt {{{\left( {{u_n} – 1} \right)}^2} + 1} \cr} \)

---

Câu 12. Cho dãy số (u_n) xác định bởi :

\({u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_n} = 2{u_{n – 1}} + 3\) với mọi \(n ≥ 2\).

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi \(n ≥ 1\) ta có \({u_n} = {2^{n + 1}}-3\)   (1)

+) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = 1 = {2^2}-3\).

Vậy (1) đúng với \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\) tức là ta có :  \({u_k} = {2^{k + 1}} – 3\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :

\({u_{k + 1}} = {2^{k + 2}} – 3\)

Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :

\({u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2\left( {{2^{k + 1}} – 3} \right) + 3 = {2^{k + 2}} – 3\)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

---

Câu 13. Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) với \({u_n} = {n^3} – 3{n^2} + 5n – 7\) ;

b. Dãy số (x_n) với  \({x_n} = {{n + 1} \over {{3^n}}}\)

c. Dãy số (a_n) với  \({a_n} = \sqrt {n + 1} – \sqrt n \)

Hướng dẫn :

a. Xét hiệu u_n+1 – u_n.

b. Xét tỉ số  \({{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}}\)

c. Viết lại công thức xác định a_n dưới dạng

\({a_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)

Tiếp theo, xét tỉ số  \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}\)

a. Ta có:

\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} – {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^3} – 3{\left( {n + 1} \right)^2} + 5\left( {n + 1} \right) – 7 – \left( {{n^3} – 3{n^2} + 5n – 7} \right) \cr
& = 3{n^2} – 3n + 3 > 0,\forall n \in \mathbb N^* \cr} \)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

b. Ta có:

\(\eqalign{
& {{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}} = {{n + 1} \over {{3^n}}}.{{{3^{n + 1}}} \over {n + 2}} = {{3\left( {n + 1} \right)} \over {n + 2}} = {{3n + 3} \over {n + 2}} > 1\;\forall n  \in \mathbb N^* \cr
& \Rightarrow {x_n} > {x_{n + 1}} \cr} \)

\(⇒ (x_n)\) là dãy số giảm.

c. Ta có:

\(\eqalign{
& {a_n} = \sqrt {n + 1} – \sqrt n = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr
& {{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} = {{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 1 \cr
& \Rightarrow {a_n} > {a_{n + 1}} \cr} \)

⇒ \((a_n)\) là dãy số giảm.

---

Câu 14. Chứng minh rằng dãy số \((u_n)\) với

\({u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}}\)

Là một dãy số giảm và bị chặn.

Ta có:

\(\eqalign{
& {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}} = {{{2 \over 3}\left( {3n + 2} \right) + {5 \over 3}} \over {3n + 2}} = {2 \over 3} + {5 \over {3\left( {3n + 2} \right)}} \cr
& {u_{n + 1}} – {u_n} = {5 \over 3}\left( {{1 \over {3n + 5}} – {1 \over {3n + 2}}} \right) < 0 \cr
& \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n} \cr} \)

\(⇒ (u_n)\) là dãy số giảm

Ta lại có  \(0 < {{2n + 3} \over {3n + 2}} \le 1 \;\forall n \in\mathbb N^*\)

Vậy \((u_n)\) là dãy số giảm và bị chặn.

---

Câu 15. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + 5\) với mọi \(n ≥ 1\).

a. Hãy tính u₂, u₄ và u₆.

b. Chứng minh rằng \(u_n= 5n – 2\) với mọi \(n ≥ 1\).

a. Ta có:

\(\eqalign{
& {u_2} = {u_1} + 5 = 8 \cr
& {u_3} = {u_2} + 5 = 13 \cr
& {u_4} = {u_3} + 5 = 18 \cr
& {u_5} = {u_4} + 5 = 23 \cr
& {u_6} = {u_5} + 5 = 28 \cr} \)

b. Ta sẽ chứng minh : \(u_n= 5n – 2\) (1) với mọi \(n \in \mathbb N^*\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \(u_1= 3 = 5.1 – 2\)

Vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k, k\in \mathbb N^*\), tức là:

\(u_k=5k-2\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\)

Thật vậy, từ công thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết qui nạp ta có :

\({u_{k + 1}} = {u_k} + 5 = 5k – 2 + 5 = 5\left( {k + 1} \right) – 2\)

Do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

---

Câu 16. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( {n + 1} \right){.2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\)

a. Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số tăng.

b. Chứng minh rằng

\({u_n} = 1 + \left( {n – 1} \right){.2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\).

a. Từ hệ thức xác định dãy số (u_n), ta có:

\({u_{n + 1}} – {u_n} = \left( {n + 1} \right){.2^n} > 0\;\forall n \ge 1.\)

Do đó (u_n) là một dãy số tăng.

b. Ta sẽ chứng minh \({u_n} = 1 + \left( {n – 1} \right){.2^n}\)  (1) với mọi \(n ≥ 1\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \({u_1} = 1 = 1 + \left( {1 – 1} \right){.2^1}.\) Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in\mathbb N^*\), tức là:

\({u_k} = 1 + \left( {k – 1} \right){2^k}\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\).

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết qui nạp, ta có :

\({u_{k + 1}} = {u_k} + \left( {k + 1} \right){.2^k} = 1 + \left( {k – 1} \right){.2^k} + \left( {k + 1} \right){.2^k} = 1 + k{.2^{k + 1}}\)

Vậy (1) đúng với mọi \(n ≥ 1\).

---

Câu 17. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {2 \over {u_n^2 + 1}}\) với mọi \(n ≥ 1\)

Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số không đổi (dãy có tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Ta chứng minh \(u_n= 1\)  (1) \(∀ n \in \mathbb N^*\) bằng qui nạp

+) Rõ ràng (1) đúng với \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có \(u_k = 1\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\).

Thật vậy theo công thức truy hồi và giả thiết quy nạp ta có :

\({u_{k + 1}} = {2 \over {u_k^2 + 1}} = {2 \over {1^2 + 1}}=1\)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\), do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\)

---

Câu 18. Cho dãy số (s_n) với  \({s_n} = \sin \left( {4n – 1} \right){\pi \over 6}.\)

a. Chứng minh rằng \({s_n} = {s_{n + 3}}\) với mọi \(n ≥ 1\)

b. Hãy tính tổng \(15\) số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

a. Với \(n>1\) tùy ý, ta có :

\(\eqalign{
& {s_{n + 3}} = \sin \left[ {4\left( {n + 3} \right) – 1} \right]{\pi \over 6} \cr
& = \sin \left[ {4n – 1 + 12} \right]{\pi \over 6} \cr
& = \sin \left[ {\left( {4n – 1} \right){\pi \over 6} + 2\pi } \right] \cr
& = \sin \left( {4n – 1} \right){\pi \over 6} = {s_n} \cr} \)

b. Từ kết quả phần a ta có :

\(\eqalign{
& {s_1} = {s_4} = {s_7} = {s_{10}} = {s_{13}}, \cr
& {s_2} = {s_5} = {s_8} = {s_{11}} = {s_{14}}, \cr
& {s_3} = {s_6} = {s_9} = {s_{12}} = {s_{15}} \cr} \)

Từ đó suy ra :

\({s_1} + {s_2} + {s_3} = {s_4} + {s_5}{ + _6} = {s_7} + {s_8} + {s_9} = {s_{10}} + {s_{11}} + {s_{12}} = {s_{13}} + {s_{14}} + {s_{15}}\)

Do đó :  \({S_{15}} = {s_1} + {s_2} + … + {s_{15}} = 5\left( {{s_1} + {s_2} + {s_3}} \right)\)

Bằng cách tính trực tiếp, ta có  \({s_1} = 1,{s_2} = – {1 \over 2}\,\text{ và }\,{s_3} = – {1 \over 2} \Rightarrow {s_{15}} = 0\)

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 2. Dãy số: Giải bài 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 trang 105, 106, 109 Sách Đại số và Giải tích 11 Nâng cao” state=”close”]Giải bài 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 trang 105, 106, 109 – Bài 2. Dãy số SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Câu 9: Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số sau: Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {{2{n^2} – 3} \over n}\)

Câu 9. Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {{2{n^2} – 3} \over n}\)

b. Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {\sin ^2}{{n\pi } \over 4} + \cos {{2n\pi } \over 3}\)

c. Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {\left( { – 1} \right)^n}.\sqrt {{4^n}} \)

a. Ta có

\(\eqalign{
& {u_1} = {{{{2.1}^2} – 3} \over 1} = – 1 \cr
& {u_2} = {{{{2.2}^2} – 3} \over 2} = {5 \over 2} \cr
& {u_3} = {{{{2.3}^2} – 3} \over 3} = 5 \cr
& {u_4} = {{{{2.4}^2} – 3} \over 4} = {{29} \over 4} \cr
& {u_5} = {{{{2.5}^2} – 3} \over 5} = {{47} \over 5} \cr} \)

b.

\(\eqalign{
& {u_1} = {\sin ^2}{\pi \over 4} + \cos {{2\pi } \over 3} = {1 \over 2} – {1 \over 2} = 0 \cr
& {u_2} = {\sin ^2}{\pi \over 2} + \cos {{4\pi } \over 3} = 1 – {1 \over 2} = {1 \over 2} \cr
& {u_3} = {\sin ^2}{{3\pi } \over 4} + \cos 2\pi = {1 \over 2} + 1 = {3 \over 2} \cr
& {u_4} = {\sin ^2}\pi + \cos {{8\pi } \over 3} = \cos \left( {2\pi + {{2\pi } \over 3}} \right) = – {1 \over 2} \cr
& {u_5} = {\sin ^2}{{5\pi } \over 4} + \cos {{10\pi } \over 3} = {1 \over 2} – {1 \over 2} = 0 \cr} \)

c.

\(\eqalign{
& {u_1} = – 2 \cr
& {u_2} = 4 \cr
& {u_3} = – 8 \cr
& {u_4} = 16 \cr
& {u_5} = – 32 \cr} \)

---

Câu 10. Tìm số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 của mỗi dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) xác định bởi :

\({u_1} = 0\,\text{ và }\,{u_n} = {2 \over {u_{n – 1}^2 + 1}}\) với mọi \(n ≥ 2\) ;

b. Dãy số (u_n) xác định bởi :

\({u_1} = 1,{u_2} = – 2\,\text{ và }\,u_n={u_{n – 1}} – 2{u_{n – 2}}\) với mọi \(n ≥ 3\).

a. Ta có:

\(\eqalign{
& {u_2} = {2 \over {u_1^2 + 1}} = 2 \cr
& {u_3} = {2 \over {u_2^2 + 1}} = {2 \over {{2^2} + 1}} = {2 \over 5} \cr
& {u_4} = {2 \over {u_3^2 + 1}} = {2 \over {{4 \over {25}} + 1}} = {{50} \over {29}} \cr
& {u_5} = {2 \over {u_4^2 + 1}} = {2 \over {{{\left( {{{50} \over {29}}} \right)}^2} + 1}} = {{1682} \over {3341}} \cr} \)

b. Ta có:

\(\eqalign{
& {u_3} = {u_2} – 2{u_1} = – 2 – 2.1 = – 4 \cr
& {u_4} = {u_3} – 2{u_2} = – 4 – 2\left( { – 2} \right) = 0 \cr
& {u_5} = {u_4} – 2{u_3} = 0-2.(-4)=8 \cr} \)

---

Câu 11. Cho hình vuông A₁B₁C₁D₁ có các cạnh bằng 6cm. Người ta dựng các hình vuông A₂B₂C₂D₂, A₃B₃C₃D₃, …, A_nB_nC_nD_n, … theo cách sau : Với mỗi n = 2, 3, 4, … lấy các điểm A_n, B_n , C_n, và D_n tương ứng trên các cạnh A_n-1B_n-1, B_n-1C_n-1, C_n-1D_n-1và D_n-1A_n-1 sao cho A_n-1A_n = 1cm và A_nB_nC_nD_n là một hình vuông (h.3.2). Xét dãy số (u_n) với u_n là độ dài cạnh của hình vuông A_nB_nC_nD_n.

Hãy cho dãy số (u_n) nói trên bởi hệ thức truy hồi.

Với mỗi \(n \in \mathbb N^*\), xét các hình vuông \({A_n}{B_n}{C_n}{D_n}\) và \({A_{n + 1}}{B_{n + 1}}{C_{n + 1}}{D_{n + 1}},\) ta có

\(\eqalign{& {u_{n + 1}} = {A_{n + 1}}{B_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {{A_{n + 1}}{B_n}} \right)}^2} +{{\left( {{B_n}{B_{n + 1}}} \right)}^2}} \cr & = \sqrt {{{\left( {{A_n}{B_n} – 1} \right)}^2} + {1^2}} \cr & = \sqrt {{{\left( {{u_n} – 1} \right)}^2} + 1} \cr} \)

---

Câu 12. Cho dãy số (u_n) xác định bởi :

\({u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_n} = 2{u_{n – 1}} + 3\) với mọi \(n ≥ 2\).

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi \(n ≥ 1\) ta có \({u_n} = {2^{n + 1}}-3\)   (1)

+) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = 1 = {2^2}-3\).

Vậy (1) đúng với \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\) tức là ta có :  \({u_k} = {2^{k + 1}} – 3\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :

\({u_{k + 1}} = {2^{k + 2}} – 3\)

Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :

\({u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2\left( {{2^{k + 1}} – 3} \right) + 3 = {2^{k + 2}} – 3\)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

---

Câu 13. Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) với \({u_n} = {n^3} – 3{n^2} + 5n – 7\) ;

b. Dãy số (x_n) với  \({x_n} = {{n + 1} \over {{3^n}}}\)

c. Dãy số (a_n) với  \({a_n} = \sqrt {n + 1} – \sqrt n \)

Hướng dẫn :

a. Xét hiệu u_n+1 – u_n.

b. Xét tỉ số  \({{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}}\)

c. Viết lại công thức xác định a_n dưới dạng

\({a_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)

Tiếp theo, xét tỉ số  \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}\)

a. Ta có:

\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} – {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^3} – 3{\left( {n + 1} \right)^2} + 5\left( {n + 1} \right) – 7 – \left( {{n^3} – 3{n^2} + 5n – 7} \right) \cr
& = 3{n^2} – 3n + 3 > 0,\forall n \in \mathbb N^* \cr} \)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

b. Ta có:

\(\eqalign{
& {{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}} = {{n + 1} \over {{3^n}}}.{{{3^{n + 1}}} \over {n + 2}} = {{3\left( {n + 1} \right)} \over {n + 2}} = {{3n + 3} \over {n + 2}} > 1\;\forall n  \in \mathbb N^* \cr
& \Rightarrow {x_n} > {x_{n + 1}} \cr} \)

\(⇒ (x_n)\) là dãy số giảm.

c. Ta có:

\(\eqalign{
& {a_n} = \sqrt {n + 1} – \sqrt n = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr
& {{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} = {{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 1 \cr
& \Rightarrow {a_n} > {a_{n + 1}} \cr} \)

⇒ \((a_n)\) là dãy số giảm.

---

Câu 14. Chứng minh rằng dãy số \((u_n)\) với

\({u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}}\)

Là một dãy số giảm và bị chặn.

Ta có:

\(\eqalign{
& {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}} = {{{2 \over 3}\left( {3n + 2} \right) + {5 \over 3}} \over {3n + 2}} = {2 \over 3} + {5 \over {3\left( {3n + 2} \right)}} \cr
& {u_{n + 1}} – {u_n} = {5 \over 3}\left( {{1 \over {3n + 5}} – {1 \over {3n + 2}}} \right) < 0 \cr
& \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n} \cr} \)

\(⇒ (u_n)\) là dãy số giảm

Ta lại có  \(0 < {{2n + 3} \over {3n + 2}} \le 1 \;\forall n \in\mathbb N^*\)

Vậy \((u_n)\) là dãy số giảm và bị chặn.

---

Câu 15. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + 5\) với mọi \(n ≥ 1\).

a. Hãy tính u₂, u₄ và u₆.

b. Chứng minh rằng \(u_n= 5n – 2\) với mọi \(n ≥ 1\).

a. Ta có:

\(\eqalign{
& {u_2} = {u_1} + 5 = 8 \cr
& {u_3} = {u_2} + 5 = 13 \cr
& {u_4} = {u_3} + 5 = 18 \cr
& {u_5} = {u_4} + 5 = 23 \cr
& {u_6} = {u_5} + 5 = 28 \cr} \)

b. Ta sẽ chứng minh : \(u_n= 5n – 2\) (1) với mọi \(n \in \mathbb N^*\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \(u_1= 3 = 5.1 – 2\)

Vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k, k\in \mathbb N^*\), tức là:

\(u_k=5k-2\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\)

Thật vậy, từ công thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết qui nạp ta có :

\({u_{k + 1}} = {u_k} + 5 = 5k – 2 + 5 = 5\left( {k + 1} \right) – 2\)

Do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

---

Câu 16. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( {n + 1} \right){.2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\)

a. Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số tăng.

b. Chứng minh rằng

\({u_n} = 1 + \left( {n – 1} \right){.2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\).

a. Từ hệ thức xác định dãy số (u_n), ta có:

\({u_{n + 1}} – {u_n} = \left( {n + 1} \right){.2^n} > 0\;\forall n \ge 1.\)

Do đó (u_n) là một dãy số tăng.

b. Ta sẽ chứng minh \({u_n} = 1 + \left( {n – 1} \right){.2^n}\)  (1) với mọi \(n ≥ 1\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \({u_1} = 1 = 1 + \left( {1 – 1} \right){.2^1}.\) Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in\mathbb N^*\), tức là:

\({u_k} = 1 + \left( {k – 1} \right){2^k}\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\).

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết qui nạp, ta có :

\({u_{k + 1}} = {u_k} + \left( {k + 1} \right){.2^k} = 1 + \left( {k – 1} \right){.2^k} + \left( {k + 1} \right){.2^k} = 1 + k{.2^{k + 1}}\)

Vậy (1) đúng với mọi \(n ≥ 1\).

---

Câu 17. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {2 \over {u_n^2 + 1}}\) với mọi \(n ≥ 1\)

Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số không đổi (dãy có tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Ta chứng minh \(u_n= 1\)  (1) \(∀ n \in \mathbb N^*\) bằng qui nạp

+) Rõ ràng (1) đúng với \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có \(u_k = 1\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\).

Thật vậy theo công thức truy hồi và giả thiết quy nạp ta có :

\({u_{k + 1}} = {2 \over {u_k^2 + 1}} = {2 \over {1^2 + 1}}=1\)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\), do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\)

---

Câu 18. Cho dãy số (s_n) với  \({s_n} = \sin \left( {4n – 1} \right){\pi \over 6}.\)

a. Chứng minh rằng \({s_n} = {s_{n + 3}}\) với mọi \(n ≥ 1\)

b. Hãy tính tổng \(15\) số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

a. Với \(n>1\) tùy ý, ta có :

\(\eqalign{
& {s_{n + 3}} = \sin \left[ {4\left( {n + 3} \right) – 1} \right]{\pi \over 6} \cr
& = \sin \left[ {4n – 1 + 12} \right]{\pi \over 6} \cr
& = \sin \left[ {\left( {4n – 1} \right){\pi \over 6} + 2\pi } \right] \cr
& = \sin \left( {4n – 1} \right){\pi \over 6} = {s_n} \cr} \)

b. Từ kết quả phần a ta có :

\(\eqalign{
& {s_1} = {s_4} = {s_7} = {s_{10}} = {s_{13}}, \cr
& {s_2} = {s_5} = {s_8} = {s_{11}} = {s_{14}}, \cr
& {s_3} = {s_6} = {s_9} = {s_{12}} = {s_{15}} \cr} \)

Từ đó suy ra :

\({s_1} + {s_2} + {s_3} = {s_4} + {s_5}{ + _6} = {s_7} + {s_8} + {s_9} = {s_{10}} + {s_{11}} + {s_{12}} = {s_{13}} + {s_{14}} + {s_{15}}\)

Do đó :  \({S_{15}} = {s_1} + {s_2} + … + {s_{15}} = 5\left( {{s_1} + {s_2} + {s_3}} \right)\)

Bằng cách tính trực tiếp, ta có  \({s_1} = 1,{s_2} = – {1 \over 2}\,\text{ và }\,{s_3} = – {1 \over 2} \Rightarrow {s_{15}} = 0\)

[/toggle]