Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (P)

A.
\(3x + 2y + z + 14 = 0\)

Bạn đang xem: Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C

B.
\(2x + y + 3z + 9 = 0\)

C.
\(2x + 2y + z – 14 = 0\)

D.
\(2x + y + z – 9 = 0\)

Đáp án đúng: D

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right);\,\,B\left( {0;b;0} \right);\,\,C\left( {0;0;c} \right)\)

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\left( {a.b.c \ne 0} \right)\)

Vì (P) qua M nên \(\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1 & \left( 1 \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {MA}  = \left( {a – 3; – 2; – 1} \right);\,\,\overrightarrow {MB}  = \left( { – 3;b – 2; – 1} \right);\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {0; – b;c} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { – a;0;c} \right)\)

Vì M là trực tâm của tam giác ABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b = c\\3a = c\end{array} \right. & \left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(a = \frac{{14}}{3};\,\,b = \frac{{14}}{2};\,\,c = 14\). Khi đó phương trình \(\left( P \right):3x + 2y + z – 14 = 0\)

Vậy mặt phẳng song song với (P) là: \(3x + 2y + z + 14 = 0\)