Cho hình đa diện như hình vẽ, trong đó các cạnh AA’, BB’, CC’ đều vuông góc với (ABC), tam giác ABC đều cạnh a và (A

Câu hỏi:

Cho hình đa diện như hình vẽ, trong đó các cạnh AA’, BB’, CC’ đều vuông góc với (ABC), tam giác ABC đều cạnh a và \(AA’ = BB’ = \frac{1}{2}CC’ = a\). Tính theo a thể tích V của khối đa diện đó.

A.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\)

B.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)

C.
\(V = \frac{{{4a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)

D.
\(V = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)

Đáp án đúng: B

Bạn đang xem: Cho hình đa diện như hình vẽ, trong đó các cạnh AA’, BB’, CC’ đều vuông góc với (ABC), tam giác ABC đều cạnh a và (A

Gọi M là trung điểm của CC’.

Khi đó: khối đa diện đã cho được chia làm 2 phần: Khối lăng trụ tam giác đều A’B’M.ABC và khối tứ diện A’B’C’M.

Thể tích khối lăng trụ tam giác đều A’B’M.ABC là:

\({V_{ABM.ABC}} = {S_{\Delta ABC}}.AA’ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) 

\(\begin{array}{l}
C’M = \frac{1}{2}CC’ = a,C’M \bot \left( {A’B’M} \right)\\
 \Rightarrow {V_{A’B’C’M}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta A’B’M}}.C’M = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}
\end{array}\) 

\(\Rightarrow\) Thể tích cần tìm là: \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).