Giải Bài 28, 29, 30, 31 trang 103, 104 Hình học 12 Nâng cao: Phương trình đường thẳng

 Bài 3 Phương trình đường thẳng. Giải bài 28, 29, 30, 31 trang 103, 104 SGK Hình học lớp 12 Nâng cao. Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình; Viết phương trình đường thẳng đi qua

Bài 28: Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình:

a) \(d:{{x – 1} \over 2} = y – 7 = {{z – 3} \over 4}\,;\,d’:{{x – 3} \over 6} = {{y + 1} \over { – 2}} = {{z + 2} \over 1}\)
b)

Bạn đang xem: Giải Bài 28, 29, 30, 31 trang 103, 104 Hình học 12 Nâng cao: Phương trình đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = – 3 – 4t \hfill \cr
z = – 3 – 3t \hfill \cr} \right.\)

d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y – z = 0,\,\,\left( {\alpha ‘} \right):2x – y + 2z = 0\).

a) Đường thẳng d đi qua M(1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;4} \right)\). Đường thẳng d’ đi qua \(M’\left( {3; – 1; – 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ‘ = \left( {6; – 2;1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM’}  = \left( {2; – 8; – 5} \right)\) và \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow u ‘} \right] = \left( {9;22; – 10} \right)\)

\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow u ‘} \right].\overrightarrow {MM’}  =  – 108 \ne 0\).
Vậy d và d’ chéo nhau.
b) Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0; – 3; – 3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1; – 4; – 3} \right)\)
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương

d và d’ có cùng vectơ chỉ phương và \(M\left( {0; – 3; – 3} \right)\) không nằm trên d’ nên d và d’ song song.

Bài 29: Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {1; – 1;1} \right)\) và cắt cả hai đường thẳng sau:

\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = 3 – t \hfill \cr} \right.\,\,;\,\,d’:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = – 1 – 2t \hfill \cr
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\)

Lấy điểm \(M\left( {1 + 2t,t,3 – 1} \right)\) nằm trên d và điểm \(M’\left( {t’, – 1 – 2t’,2 + t’} \right)\) nằm trên d’.
Rõ ràng \(A \notin d\) và \(A \notin d’\). Ta tìm t và t’ sao cho A, M, M’ thẳng hàng, tức \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM’} \) cùng phương.
Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {2t,1 + t,2 – t} \right);\)

\(\overrightarrow {AM’}  = \left( { – 1 + t’, – 2t’,1 + t’} \right)\). Do đó:

Hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM’} \) cùng phương khi và chỉ khi \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM’} } \right] = \overrightarrow 0 \) hay:

\(\left\{ \matrix{
1 + t + 5t’ – tt’ = 0 \hfill \cr
– 2 – t + 2t’ – 3tt’ = 0 \hfill \cr
1 + t – t’ – 5tt’ = 0 \hfill \cr} \right.\)

Khử số hạng tt’ từ các phương trình trên, ta được hệ

\(\left\{ \matrix{
5 + 4t + 13t’ = 0 \hfill \cr
4 + 4t + 26t’ = 0 \hfill \cr} \right.\).

Suy ra \(t =  – {3 \over 2};t’ = {1 \over {13}}\). Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \left( { – 3; – {1 \over 2};{7 \over 2}} \right)\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và M, \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow {AM}  = \left( { – 6; – 1;7} \right)\) nên có phương trình tham số là:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 – 6t \hfill \cr
y = – 1 – t \hfill \cr
z = 1 + 7t \hfill \cr} \right.\)

Bài 30: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \({d_1}\) và cắt cả hai đường thẳng \({d_2}\) và \({d_3}\), biết phương trình của \({d_1},{d_2}\) và \({d_3}\) là:

\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = {- 2 + 4t} \hfill \cr
z ={ 1 – t} \hfill \cr} \right.\)
\( {d_2}:{{x – 1} \over 1} = {{y + 2} \over 4} = {{z – 2} \over 3}\)
\( {d_3}:\left\{ \matrix{
x ={ – 4 + 5t’} \hfill \cr
y = {- 7 + 9t’} \hfill \cr
z = {t’} \hfill \cr} \right.\)

Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \({\overrightarrow u _1} = \left( {0;4; – 1} \right)\), \({d_2}\) có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = – 2 + 4t \hfill \cr
z = 2 + 3t \hfill \cr} \right.\)

Lấy điểm \({M_2}\left( {1 + t; – 2 + 4t;2 + 3t} \right)\) trên \({d_2}\) và \({M_3}\left( { – 4 + 5t’; – 7 + 9t’;t’} \right)\) trên \({d_3}\). Ta tìm t và t’ để \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \).
Ta có \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}}  = \left( { – 5 + 5t’ – t; – 5 + 9t’ – 4t; – 2 + t’ – 3t} \right)\), \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \) khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{
– 5 + 5t’ – t = 0 \hfill \cr
{{ – 5 + 9t’ – 4t} \over 4} = {{ – 2 + t’ – 3t} \over { – 1}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t’ = 1 \hfill \cr} \right.\)

Khi đó \({M_2}\left( {1; – 2;2} \right)\) và \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}}  = \left( {0;4; – 1} \right)\).
Vậy \(\Delta \) qua \({M_2},{M_3}\) có phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = – 2 + 4t \hfill \cr
z = 2 – t \hfill \cr} \right.\).

Rõ ràng \({M_2} \notin {d_1}\). Vậy \(\Delta \) chính là đường thẳng cần tìm.

Bài 31: Cho hai đường thẳng

\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = 8 + t \hfill \cr
y = 5 + 2t \hfill \cr
z = 8 – t \hfill \cr} \right.\) và \({d_2}:{{3 – x} \over 7} = {{y – 1} \over 2} = {{z – 1} \over 3}\).

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với \({d_1}\) và \({d_2}\).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

a) Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \({M_1}\left( {8;5;8} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2; – 1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) đi qua \({M_2}\left( {3;1;1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { – 7;2;3} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = \left( {5;4;7} \right)\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {8;4;16} \right)\).
Do đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = 168 \ne 0\).
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.
b) Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua O song song với cả \({d_1}\) và \({d_2}\). \(Mp\left( \alpha  \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;1;4} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha  \right):2\left( {x – 0} \right) + 1\left( {y – 0} \right) + 4\left( {z – 0} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0\).
Rõ ràng \({M_1},{M_2} \notin \left( \alpha  \right)\). Vậy \(\left( \alpha  \right)\) chính là mặt phẳng cần tìm.
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \({d_1}\) và \({d_2}\) là:

\(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = {{168} \over {\sqrt {{8^2} + {4^2} + {{16}^2}} }} = 2\sqrt {21} \)

d) Giả sử PQ là đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) với \(P \in {d_1}\,;\,Q \in {d_2}\). Khi đó ta có các giá trị t và t’ sao cho: \(P\left( {8 + t\,;5 + 2t\,;\,8 – t} \right),\)

\(Q\left( {3 – 7t’\,;\,1 + 2t’\,;\,1 + 3t’} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { – 5 – 7t’ – t; – 4 + 2t’ – 2t; – 7 + 3t’ + t} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) nên

Vậy \(P\left( {7;3;9} \right)\,,\,Q\left( {3;1;1} \right)\) và do đó, đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình:

\({{x – 3} \over {7 – 3}} = {{y – 1} \over {3 – 1}} = {{z – 1} \over {9 – 1}} \Leftrightarrow {{x – 3} \over 2} = {{y – 1} \over 1} = {{z – 1} \over 4}\)

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 28, 29, 30, 31 trang 103, 104 Hình học 12 Nâng cao: Phương trình đường thẳng” state=”close”] Bài 3 Phương trình đường thẳng. Giải bài 28, 29, 30, 31 trang 103, 104 SGK Hình học lớp 12 Nâng cao. Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình; Viết phương trình đường thẳng đi qua

Bài 28: Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình:

a) \(d:{{x – 1} \over 2} = y – 7 = {{z – 3} \over 4}\,;\,d’:{{x – 3} \over 6} = {{y + 1} \over { – 2}} = {{z + 2} \over 1}\)
b)

\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = – 3 – 4t \hfill \cr
z = – 3 – 3t \hfill \cr} \right.\)

d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y – z = 0,\,\,\left( {\alpha ‘} \right):2x – y + 2z = 0\).

a) Đường thẳng d đi qua M(1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;4} \right)\). Đường thẳng d’ đi qua \(M’\left( {3; – 1; – 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ‘ = \left( {6; – 2;1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM’}  = \left( {2; – 8; – 5} \right)\) và \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow u ‘} \right] = \left( {9;22; – 10} \right)\)

\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow u ‘} \right].\overrightarrow {MM’}  =  – 108 \ne 0\).
Vậy d và d’ chéo nhau.
b) Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0; – 3; – 3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1; – 4; – 3} \right)\)
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương

d và d’ có cùng vectơ chỉ phương và \(M\left( {0; – 3; – 3} \right)\) không nằm trên d’ nên d và d’ song song.

Bài 29: Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {1; – 1;1} \right)\) và cắt cả hai đường thẳng sau:

\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = 3 – t \hfill \cr} \right.\,\,;\,\,d’:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = – 1 – 2t \hfill \cr
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\)

Lấy điểm \(M\left( {1 + 2t,t,3 – 1} \right)\) nằm trên d và điểm \(M’\left( {t’, – 1 – 2t’,2 + t’} \right)\) nằm trên d’.
Rõ ràng \(A \notin d\) và \(A \notin d’\). Ta tìm t và t’ sao cho A, M, M’ thẳng hàng, tức \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM’} \) cùng phương.
Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {2t,1 + t,2 – t} \right);\)

\(\overrightarrow {AM’}  = \left( { – 1 + t’, – 2t’,1 + t’} \right)\). Do đó:

Hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM’} \) cùng phương khi và chỉ khi \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM’} } \right] = \overrightarrow 0 \) hay:

\(\left\{ \matrix{
1 + t + 5t’ – tt’ = 0 \hfill \cr
– 2 – t + 2t’ – 3tt’ = 0 \hfill \cr
1 + t – t’ – 5tt’ = 0 \hfill \cr} \right.\)

Khử số hạng tt’ từ các phương trình trên, ta được hệ

\(\left\{ \matrix{
5 + 4t + 13t’ = 0 \hfill \cr
4 + 4t + 26t’ = 0 \hfill \cr} \right.\).

Suy ra \(t =  – {3 \over 2};t’ = {1 \over {13}}\). Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \left( { – 3; – {1 \over 2};{7 \over 2}} \right)\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và M, \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow {AM}  = \left( { – 6; – 1;7} \right)\) nên có phương trình tham số là:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 – 6t \hfill \cr
y = – 1 – t \hfill \cr
z = 1 + 7t \hfill \cr} \right.\)

Bài 30: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \({d_1}\) và cắt cả hai đường thẳng \({d_2}\) và \({d_3}\), biết phương trình của \({d_1},{d_2}\) và \({d_3}\) là:

\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = {- 2 + 4t} \hfill \cr
z ={ 1 – t} \hfill \cr} \right.\)
\( {d_2}:{{x – 1} \over 1} = {{y + 2} \over 4} = {{z – 2} \over 3}\)
\( {d_3}:\left\{ \matrix{
x ={ – 4 + 5t’} \hfill \cr
y = {- 7 + 9t’} \hfill \cr
z = {t’} \hfill \cr} \right.\)

Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \({\overrightarrow u _1} = \left( {0;4; – 1} \right)\), \({d_2}\) có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = – 2 + 4t \hfill \cr
z = 2 + 3t \hfill \cr} \right.\)

Lấy điểm \({M_2}\left( {1 + t; – 2 + 4t;2 + 3t} \right)\) trên \({d_2}\) và \({M_3}\left( { – 4 + 5t’; – 7 + 9t’;t’} \right)\) trên \({d_3}\). Ta tìm t và t’ để \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \).
Ta có \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}}  = \left( { – 5 + 5t’ – t; – 5 + 9t’ – 4t; – 2 + t’ – 3t} \right)\), \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \) khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{
– 5 + 5t’ – t = 0 \hfill \cr
{{ – 5 + 9t’ – 4t} \over 4} = {{ – 2 + t’ – 3t} \over { – 1}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t’ = 1 \hfill \cr} \right.\)

Khi đó \({M_2}\left( {1; – 2;2} \right)\) và \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}}  = \left( {0;4; – 1} \right)\).
Vậy \(\Delta \) qua \({M_2},{M_3}\) có phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = – 2 + 4t \hfill \cr
z = 2 – t \hfill \cr} \right.\).

Rõ ràng \({M_2} \notin {d_1}\). Vậy \(\Delta \) chính là đường thẳng cần tìm.

Bài 31: Cho hai đường thẳng

\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = 8 + t \hfill \cr
y = 5 + 2t \hfill \cr
z = 8 – t \hfill \cr} \right.\) và \({d_2}:{{3 – x} \over 7} = {{y – 1} \over 2} = {{z – 1} \over 3}\).

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với \({d_1}\) và \({d_2}\).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

a) Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \({M_1}\left( {8;5;8} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2; – 1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) đi qua \({M_2}\left( {3;1;1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { – 7;2;3} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = \left( {5;4;7} \right)\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {8;4;16} \right)\).
Do đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = 168 \ne 0\).
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.
b) Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua O song song với cả \({d_1}\) và \({d_2}\). \(Mp\left( \alpha  \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;1;4} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha  \right):2\left( {x – 0} \right) + 1\left( {y – 0} \right) + 4\left( {z – 0} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0\).
Rõ ràng \({M_1},{M_2} \notin \left( \alpha  \right)\). Vậy \(\left( \alpha  \right)\) chính là mặt phẳng cần tìm.
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \({d_1}\) và \({d_2}\) là:

\(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = {{168} \over {\sqrt {{8^2} + {4^2} + {{16}^2}} }} = 2\sqrt {21} \)

d) Giả sử PQ là đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) với \(P \in {d_1}\,;\,Q \in {d_2}\). Khi đó ta có các giá trị t và t’ sao cho: \(P\left( {8 + t\,;5 + 2t\,;\,8 – t} \right),\)

\(Q\left( {3 – 7t’\,;\,1 + 2t’\,;\,1 + 3t’} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { – 5 – 7t’ – t; – 4 + 2t’ – 2t; – 7 + 3t’ + t} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) nên

Vậy \(P\left( {7;3;9} \right)\,,\,Q\left( {3;1;1} \right)\) và do đó, đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình:

\({{x – 3} \over {7 – 3}} = {{y – 1} \over {3 – 1}} = {{z – 1} \over {9 – 1}} \Leftrightarrow {{x – 3} \over 2} = {{y – 1} \over 1} = {{z – 1} \over 4}\)

[/toggle]