a) Giải phương trình (frac{x}{2} + frac{2}{x} + 1 = 2x + 5)b) Giải hệ phương trình (left{ begin{array}{l}3xsqrt x  –

Câu hỏi:

a) Giải phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{2}{x} + 1 = 2x + 5\)

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
3x\sqrt x  – y\sqrt y  = \frac{1}{{\sqrt x  + \sqrt y }}\\
x + y = 1
\end{array} \right.\)

Bạn đang xem: a) Giải phương trình (frac{x}{2} + frac{2}{x} + 1 = 2x + 5)b) Giải hệ phương trình (left{ begin{array}{l}3xsqrt x  –

a) Điều kiện: \(x \ge  – \frac{5}{2}\) và \(x \ne 0\). Phương trình tương đương với  

\(\begin{array}{l}
{x^2} – 2x\sqrt {2x + 5}  + 2x + 5 = 1\\
 \Leftrightarrow {\left( {x – \sqrt {2x + 5} } \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x – \sqrt {2x + 5}  = 1\\
x – \sqrt {2x + 5}  =  – 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

*  \(x – \sqrt {2x + 5}  = 1 \Leftrightarrow x – 1 = \sqrt {2x + 5}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
{\left( {x – 1} \right)^2} = 2x + 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 + 2\sqrt 2 \)

*  \(x – \sqrt {2x + 5}  =  – 1 \Leftrightarrow x + 1 = \sqrt {2x + 5}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  – 1\\
{\left( {x + 1} \right)^2} = 2x + 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\)

Đối chiếu điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {2;2 + 2\sqrt 2 } \right\}\)

b) Điều kiện: \(x \ge 0,y \ge 0;\sqrt x  + \sqrt y  \ne 0\)

Ta có  

\(\begin{array}{l}
\left( {3x\sqrt x  – y\sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right) = 1 = {\left( {x + y} \right)^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x\sqrt {xy}  – y\sqrt {xy}  – 2xy – 2{y^2} = 0\\
 \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} – {y^2}} \right) + \sqrt {xy} \left[ {2\sqrt x \left( {\sqrt x  – \sqrt y } \right) + x – y} \right] = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  – \sqrt y } \right)\left[ {2\left( {x + y} \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right) + 2\sqrt x  + \sqrt x  + \sqrt y } \right] = 0
\end{array}\)

Do điều kiện nên \(\sqrt x  = \sqrt y  \Leftrightarrow x = y\)

Thay vào hệ ta được hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)