Giải Bài 3.28, 3.29, 3.30 trang 114 SBT Hình học 12:  Lập phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất ?

Bài 2 Phương trình mặt phẳng Sách bài tập Hình học 12. Giải bài 3.28, 3.29, 3.30 trang 114 Sách bài tập Hình học 12. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây ?; Lập phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất ?

Bài 3.28: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây:

a) \(({\alpha _1}):3x – 2y – 3z + 5 = 0,\)

Bạn đang xem: Giải Bài 3.28, 3.29, 3.30 trang 114 SBT Hình học 12:  Lập phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất ?

\((\alpha {‘_1}):9x – 6y – 9z – 5 = 0\)

b) \(({\alpha _2}):x – 2y + z + 3 = 0,\)

\((\alpha {‘_2}):x – 2y – z + 3 = 0\)

c) \(({\alpha _3}):x – y + 2z – 4 = 0,\)

\((\alpha {‘_3}):10x – 10y + 20z – 40 = 0\)

a) \(({\alpha _1})//({\alpha _1}’)\)

b) \(({\alpha _2})\) cắt \(({\alpha _2}’)\)

c) \(({\alpha _3}) \equiv ({\alpha _3}’)\)

Bài 3.29: Viết phương trình của mặt phẳng \((\beta )\) đi qua điểm M(2; -1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\)  : 2x – y + 3z + 4 = 0

Mặt phẳng \((\beta )\) song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\):

2x – y + 3z + 4 = 0 , do đó hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\beta )\) là:  \(\overrightarrow j  = (0;1;0)\)  và \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2; – 1;3)\)

Suy ra \((\beta )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \overrightarrow j  \wedge \overrightarrow {{n_\alpha }}  = (3;0; – 2)\)

Mặt phẳng \((\beta )\) đi qua điểm M(2; -1; 2) có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = (3;0; – 2)\)

Vậy phương trình của \((\beta )\) là:  3(x – 2) – 2(z – 2) = 0  hay 3x – 2z – 2 = 0

Bài 3.30: Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

Gọi giao điểm của \((\alpha )\)  với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c)        (a, b, c > 0).

Mặt phẳng \((\alpha )\)  có phương trình theo đoạn chắn là: \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1\)            (1)

Do \((\alpha )\)   đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1): \({1 \over a} + {2 \over b} + {3 \over c} = 1\)

Thể tích của tứ diện OABC là  \(V = {1 \over 3}B.h = {1 \over 3}.{1 \over 2}OA.OB.OC = {1 \over 6}abc\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:  \(1 = {1 \over a} + {2 \over b} + {3 \over c} \ge 3\root 3 \of {{6 \over {abc}}} \Rightarrow  1 \ge {{27.6} \over {abc}}\)

\(\Rightarrow abc \ge 27.6 \Rightarrow V \ge 27\)

Ta có:  V đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow  V = 27 \Leftrightarrow  {1 \over a} = {2 \over b} = {3 \over c} = {1 \over 3} \Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{a = 3} \cr {b = 6} \cr {c = 9} \cr} } \right.\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) thỏa mãn đề bài là:

\({x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\)  hay  6x + 3y + 2z – 18 = 0

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 3.28, 3.29, 3.30 trang 114 SBT Hình học 12:  Lập phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất ?” state=”close”]Bài 2 Phương trình mặt phẳng Sách bài tập Hình học 12. Giải bài 3.28, 3.29, 3.30 trang 114 Sách bài tập Hình học 12. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây ?; Lập phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất ?

Bài 3.28: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây:

a) \(({\alpha _1}):3x – 2y – 3z + 5 = 0,\)

\((\alpha {‘_1}):9x – 6y – 9z – 5 = 0\)

b) \(({\alpha _2}):x – 2y + z + 3 = 0,\)

\((\alpha {‘_2}):x – 2y – z + 3 = 0\)

c) \(({\alpha _3}):x – y + 2z – 4 = 0,\)

\((\alpha {‘_3}):10x – 10y + 20z – 40 = 0\)

a) \(({\alpha _1})//({\alpha _1}’)\)

b) \(({\alpha _2})\) cắt \(({\alpha _2}’)\)

c) \(({\alpha _3}) \equiv ({\alpha _3}’)\)

Bài 3.29: Viết phương trình của mặt phẳng \((\beta )\) đi qua điểm M(2; -1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\)  : 2x – y + 3z + 4 = 0

Mặt phẳng \((\beta )\) song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\):

2x – y + 3z + 4 = 0 , do đó hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\beta )\) là:  \(\overrightarrow j  = (0;1;0)\)  và \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2; – 1;3)\)

Suy ra \((\beta )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \overrightarrow j  \wedge \overrightarrow {{n_\alpha }}  = (3;0; – 2)\)

Mặt phẳng \((\beta )\) đi qua điểm M(2; -1; 2) có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = (3;0; – 2)\)

Vậy phương trình của \((\beta )\) là:  3(x – 2) – 2(z – 2) = 0  hay 3x – 2z – 2 = 0

Bài 3.30: Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

Gọi giao điểm của \((\alpha )\)  với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c)        (a, b, c > 0).

Mặt phẳng \((\alpha )\)  có phương trình theo đoạn chắn là: \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1\)            (1)

Do \((\alpha )\)   đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1): \({1 \over a} + {2 \over b} + {3 \over c} = 1\)

Thể tích của tứ diện OABC là  \(V = {1 \over 3}B.h = {1 \over 3}.{1 \over 2}OA.OB.OC = {1 \over 6}abc\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:  \(1 = {1 \over a} + {2 \over b} + {3 \over c} \ge 3\root 3 \of {{6 \over {abc}}} \Rightarrow  1 \ge {{27.6} \over {abc}}\)

\(\Rightarrow abc \ge 27.6 \Rightarrow V \ge 27\)

Ta có:  V đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow  V = 27 \Leftrightarrow  {1 \over a} = {2 \over b} = {3 \over c} = {1 \over 3} \Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{a = 3} \cr {b = 6} \cr {c = 9} \cr} } \right.\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) thỏa mãn đề bài là:

\({x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\)  hay  6x + 3y + 2z – 18 = 0

[/toggle]