Về phía ngoài hình bình hành ABCD dựng các hình vuông có cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng bốn tâm của hình vuông đó là đỉnh của một hình vuông.

Câu hỏi:

Về phía ngoài hình bình hành ABCD dựng các hình vuông có cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng bốn tâm của  hình vuông đó là đỉnh của một hình vuông.

Đặt \(\alpha  = \left( {BC;BE} \right)\), gọi I là trung điểm AC.

Khi đó \(Q\left( {B;\alpha } \right)\left( {CH} \right) = EA \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
CH = EA\\
CH \bot EA
\end{array} \right.\) 

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}
IN//AE;IN = \frac{1}{2}AE\\
IM//CH;IM = \frac{1}{2}HC
\end{array} \right.\). Suy ra \(\Delta INM\) vuông cân tại I. Tương tự tam giác IQP vuông cân tại I.

Xét \(\left\{ \begin{array}{l}
Q\left( {I;\alpha } \right)\left( N \right) = M\\
Q\left( {I;\alpha } \right)\left( Q \right) = P
\end{array} \right. \Rightarrow Q\left( {I;\alpha } \right)\left( {NQ} \right) = MP \Rightarrow NQ \bot QN\)