Giải Bài 27, 28, 29, 30 trang 205, 206 Giải tích 12 Nâng cao: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

 Bài 3 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng. Giải bài 27, 28, 29, 30 trang 205, 206 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: ; Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

Bài 27: Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: \(\overline z \,;\, – z;\,{1 \over {\overline z }};\,kz\,\left( {k \in \mathbb R^*} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:

\(a)\,z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin\varphi } \right)\,\left( {r > 0} \right);\)

Bạn đang xem: Giải Bài 27, 28, 29, 30 trang 205, 206 Giải tích 12 Nâng cao: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

\(b)\,z = 1 + \sqrt 3 i.\)

\(\eqalign{  & a)\,\overline z  = r\left( {\cos \varphi  – i\sin \varphi } \right) \cr&= r\left( {\cos \left( { – \varphi } \right) + i\sin \left( { – \varphi } \right)} \right)  \cr  &  – z =  – r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right) \cr&= r\left( {\cos \left( {\pi  + \varphi } \right) + i\sin \left( {\pi  + \varphi } \right)} \right)  \cr  & {1 \over z} = {z \over {\overline z .z}} = {1 \over r}\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)  \cr  & k.z = kr\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\,\,\text{nếu}\,k > 0  \cr  & kz =  – kr\left( {\cos \left( {\pi  + \varphi } \right) + i\sin \left( {\pi  + \varphi } \right)} \right)\,\,\text{nếu}\,\,k < 0 \cr} \)

\(b)\,z = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)\)

\(= 2\left( {\cos {\pi  \over 3} + i\sin {\pi  \over 3}} \right)\)

Áp dụng câu a) ta có: \(\overline z  = 2\left( {\cos \left( { – {\pi  \over 3}} \right) + i\sin \left( { – {\pi  \over 3}} \right)} \right)\)

\( – z = 2\left( {\cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}} \right);\)

\({1 \over {\overline z }} = {1 \over 2}\left( {\cos {\pi  \over 3} + i\sin {\pi  \over 3}} \right)\)

\(\eqalign{  & kz = 2k\left( {\cos {\pi  \over 3} + i\sin {\pi  \over 3}} \right)\,\,\text{nếu}\,\,k > 0  \cr  & kz =  – 2k\left( {\cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}} \right)\,\text{nếu}\,\,k < 0 \cr} \)

Bài 28: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

\(\eqalign{
& a)\,\,1 – i\sqrt 3 ;\,\,1 + i;\,\,(1 – i\sqrt 3 )(1 + i);\,\,{{1 – i\sqrt 3 } \over {1 + i}}; \cr
& b)\,\,2i\left( {\sqrt 3 – i} \right); \cr
& c)\,\,{1 \over {2 + 2i}}; \cr
& d)\,\,z = \sin \varphi + i\cos \varphi \,(\varphi \in\mathbb R) \cr} \)

\(\eqalign{
& a)\,\,1 – i\sqrt 3 = 2\left( {{1 \over 2} – {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) \cr&= 2\left( {\cos \left( { – {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 3}} \right)} \right);\,\,\,\,\, \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,1 + i = \sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr&= \sqrt 2 \left( {\cos \left( {{\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 4}} \right)} \right);\, \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,(1 – i\sqrt 3 )(1 + i) \cr&= 2\sqrt 2 \left( {{1 \over 2} – {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)\left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr
&  = 2\sqrt 2 \left( {\cos \left( { – {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 3}} \right)} \right).\cr&\left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right) \cr
& = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( {{\pi \over 4} – {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 4} – {\pi \over 3}} \right)} \right] \cr
& = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { – {\pi \over {12}}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over {12}}} \right)} \right];\,\, \cr
& {{1 – i\sqrt 3 } \over {1 + i}}\cr& = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { – {\pi \over 3} – {\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 3} – {\pi \over 4}} \right)} \right] \cr
& = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { – {7 \over {12}}\pi } \right) + i\sin \left( { – {7 \over {12}}\pi } \right)} \right]; \cr
& b)\,\,2i = 2\left( {\cos {\pi \over 2} + i\sin {\pi \over 2}} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\left( {\sqrt 3 – i} \right) = 2\left( {{{\sqrt 3 } \over 2} – {1 \over 2}i} \right)\cr& = 2\left[ {\cos \left( { – {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 6}} \right)} \right]; \cr
& \,\,\,\,\,\,\,2i\left( {\sqrt 3 – i} \right) \cr&= 4\left[ {\cos \left( {{\pi \over 2} – {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 2} – {\pi \over 6}} \right)} \right] \cr
&= 4\left[ {\cos \left( {{\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 3}} \right)} \right] \cr
& c)\,\,2 + 2i = 2\sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr&= 2\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)\, \cr
& \Rightarrow {1 \over {2 + 2i}} = {1 \over {2\sqrt 2 }}\left[ {\cos \left( { – {\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 4}} \right)} \right] \cr
& d)\,z = \,\sin \varphi + i\cos \varphi \cr&= \,\cos \left( {{\pi \over 2} – \varphi } \right) + i\sin\left( {{\pi \over 2} – \varphi } \right)(\varphi \in \mathbb R) \cr} \)

Bài 29: Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn \({\left( {1 + i} \right)^{19}}\) và công thức Moa-vrơ để tính

\(C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – … + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}.\)

Giải

Theo nhị thức Niu-tơn ta có:

\({\left( {1 + i} \right)^{19}} = (C_{19}^0 + C_{19}^2{i^2} + C_{19}^4{i^2} + … + C_{19}^{16}{i^2} \)

\(+ C_{19}^{18}{i^2}) + (C_{19}^1i + C_{19}^3{i^3} + … + C_{19}^{19})\)

Phần thực ở vế phải là: \(C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – … + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}.\)

Mặt khác:

\(\eqalign{
& {\left( {1 + i} \right)^{19}} = {\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)} \right]^{19}} \cr&= {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( {\cos {{19\pi } \over 4} + i\sin {{19\pi } \over 4}} \right) \cr
&  = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( { – {{\sqrt 2 } \over 2} + i{{\sqrt 2 } \over 2}} \right) = – {2^9} + {2^9}i \cr
& \Rightarrow C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – … + C_{19}^{16} – C_{19}^{18} =- {2^9} \cr&= – 512. \cr} \)

Bài 30: Gọi M, M’ là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số \(z = 3 + i;\,z’ = \left( {3 – \sqrt 3 } \right) + \left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)i.\)

a) Tính \({{z’} \over z};\)

b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z’ với acgumen của z là một số đo của góc lượng giác \(\left( {OM,OM’} \right)\). Tính số đo đó.

\(a)\,{{z’} \over z} = {{\left[ {3 – \sqrt 3  + \left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)i} \right]\left( {3 – i} \right)} \over {10}} = 1 + \sqrt 3 i\)

b) Xét tia Ox thì ta có: \(sđ\left( {OM,OM’} \right) = sđ\left( {Ox,OM’} \right) – sđ\left( {Ox,OM} \right)\)

                             \( = \varphi ‘ – \varphi  = acgumen{{z’} \over z}\) (sai khác \(k2\pi \))

(trong đó \(\varphi \) và \(\varphi ‘\) theo thứ tự là acgumen của z và z’).

Từ đó do \({{z’} \over z} = 1 + \sqrt 3 i\) có acgumen là \({\pi  \over 3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\), nên góc lượng giác \(\left( {OM,OM’} \right)\) có số đo \({\pi  \over 3} + k2\pi \,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 27, 28, 29, 30 trang 205, 206 Giải tích 12 Nâng cao: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng” state=”close”] Bài 3 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng. Giải bài 27, 28, 29, 30 trang 205, 206 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: ; Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

Bài 27: Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: \(\overline z \,;\, – z;\,{1 \over {\overline z }};\,kz\,\left( {k \in \mathbb R^*} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:

\(a)\,z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin\varphi } \right)\,\left( {r > 0} \right);\)

\(b)\,z = 1 + \sqrt 3 i.\)

\(\eqalign{  & a)\,\overline z  = r\left( {\cos \varphi  – i\sin \varphi } \right) \cr&= r\left( {\cos \left( { – \varphi } \right) + i\sin \left( { – \varphi } \right)} \right)  \cr  &  – z =  – r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right) \cr&= r\left( {\cos \left( {\pi  + \varphi } \right) + i\sin \left( {\pi  + \varphi } \right)} \right)  \cr  & {1 \over z} = {z \over {\overline z .z}} = {1 \over r}\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)  \cr  & k.z = kr\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\,\,\text{nếu}\,k > 0  \cr  & kz =  – kr\left( {\cos \left( {\pi  + \varphi } \right) + i\sin \left( {\pi  + \varphi } \right)} \right)\,\,\text{nếu}\,\,k < 0 \cr} \)

\(b)\,z = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)\)

\(= 2\left( {\cos {\pi  \over 3} + i\sin {\pi  \over 3}} \right)\)

Áp dụng câu a) ta có: \(\overline z  = 2\left( {\cos \left( { – {\pi  \over 3}} \right) + i\sin \left( { – {\pi  \over 3}} \right)} \right)\)

\( – z = 2\left( {\cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}} \right);\)

\({1 \over {\overline z }} = {1 \over 2}\left( {\cos {\pi  \over 3} + i\sin {\pi  \over 3}} \right)\)

\(\eqalign{  & kz = 2k\left( {\cos {\pi  \over 3} + i\sin {\pi  \over 3}} \right)\,\,\text{nếu}\,\,k > 0  \cr  & kz =  – 2k\left( {\cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}} \right)\,\text{nếu}\,\,k < 0 \cr} \)

Bài 28: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

\(\eqalign{
& a)\,\,1 – i\sqrt 3 ;\,\,1 + i;\,\,(1 – i\sqrt 3 )(1 + i);\,\,{{1 – i\sqrt 3 } \over {1 + i}}; \cr
& b)\,\,2i\left( {\sqrt 3 – i} \right); \cr
& c)\,\,{1 \over {2 + 2i}}; \cr
& d)\,\,z = \sin \varphi + i\cos \varphi \,(\varphi \in\mathbb R) \cr} \)

\(\eqalign{
& a)\,\,1 – i\sqrt 3 = 2\left( {{1 \over 2} – {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) \cr&= 2\left( {\cos \left( { – {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 3}} \right)} \right);\,\,\,\,\, \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,1 + i = \sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr&= \sqrt 2 \left( {\cos \left( {{\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 4}} \right)} \right);\, \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,(1 – i\sqrt 3 )(1 + i) \cr&= 2\sqrt 2 \left( {{1 \over 2} – {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)\left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr
&  = 2\sqrt 2 \left( {\cos \left( { – {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 3}} \right)} \right).\cr&\left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right) \cr
& = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( {{\pi \over 4} – {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 4} – {\pi \over 3}} \right)} \right] \cr
& = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { – {\pi \over {12}}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over {12}}} \right)} \right];\,\, \cr
& {{1 – i\sqrt 3 } \over {1 + i}}\cr& = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { – {\pi \over 3} – {\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 3} – {\pi \over 4}} \right)} \right] \cr
& = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { – {7 \over {12}}\pi } \right) + i\sin \left( { – {7 \over {12}}\pi } \right)} \right]; \cr
& b)\,\,2i = 2\left( {\cos {\pi \over 2} + i\sin {\pi \over 2}} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\left( {\sqrt 3 – i} \right) = 2\left( {{{\sqrt 3 } \over 2} – {1 \over 2}i} \right)\cr& = 2\left[ {\cos \left( { – {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 6}} \right)} \right]; \cr
& \,\,\,\,\,\,\,2i\left( {\sqrt 3 – i} \right) \cr&= 4\left[ {\cos \left( {{\pi \over 2} – {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 2} – {\pi \over 6}} \right)} \right] \cr
&= 4\left[ {\cos \left( {{\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 3}} \right)} \right] \cr
& c)\,\,2 + 2i = 2\sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr&= 2\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)\, \cr
& \Rightarrow {1 \over {2 + 2i}} = {1 \over {2\sqrt 2 }}\left[ {\cos \left( { – {\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 4}} \right)} \right] \cr
& d)\,z = \,\sin \varphi + i\cos \varphi \cr&= \,\cos \left( {{\pi \over 2} – \varphi } \right) + i\sin\left( {{\pi \over 2} – \varphi } \right)(\varphi \in \mathbb R) \cr} \)

Bài 29: Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn \({\left( {1 + i} \right)^{19}}\) và công thức Moa-vrơ để tính

\(C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – … + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}.\)

Giải

Theo nhị thức Niu-tơn ta có:

\({\left( {1 + i} \right)^{19}} = (C_{19}^0 + C_{19}^2{i^2} + C_{19}^4{i^2} + … + C_{19}^{16}{i^2} \)

\(+ C_{19}^{18}{i^2}) + (C_{19}^1i + C_{19}^3{i^3} + … + C_{19}^{19})\)

Phần thực ở vế phải là: \(C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – … + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}.\)

Mặt khác:

\(\eqalign{
& {\left( {1 + i} \right)^{19}} = {\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)} \right]^{19}} \cr&= {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( {\cos {{19\pi } \over 4} + i\sin {{19\pi } \over 4}} \right) \cr
&  = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( { – {{\sqrt 2 } \over 2} + i{{\sqrt 2 } \over 2}} \right) = – {2^9} + {2^9}i \cr
& \Rightarrow C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – … + C_{19}^{16} – C_{19}^{18} =- {2^9} \cr&= – 512. \cr} \)

Bài 30: Gọi M, M’ là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số \(z = 3 + i;\,z’ = \left( {3 – \sqrt 3 } \right) + \left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)i.\)

a) Tính \({{z’} \over z};\)

b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z’ với acgumen của z là một số đo của góc lượng giác \(\left( {OM,OM’} \right)\). Tính số đo đó.

\(a)\,{{z’} \over z} = {{\left[ {3 – \sqrt 3  + \left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)i} \right]\left( {3 – i} \right)} \over {10}} = 1 + \sqrt 3 i\)

b) Xét tia Ox thì ta có: \(sđ\left( {OM,OM’} \right) = sđ\left( {Ox,OM’} \right) – sđ\left( {Ox,OM} \right)\)

                             \( = \varphi ‘ – \varphi  = acgumen{{z’} \over z}\) (sai khác \(k2\pi \))

(trong đó \(\varphi \) và \(\varphi ‘\) theo thứ tự là acgumen của z và z’).

Từ đó do \({{z’} \over z} = 1 + \sqrt 3 i\) có acgumen là \({\pi  \over 3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\), nên góc lượng giác \(\left( {OM,OM’} \right)\) có số đo \({\pi  \over 3} + k2\pi \,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)

[/toggle]