Biết (F(x)) là một nguyên hàm của hàm (fleft( x right) = xln left( {x + 1} right)) và (Fleft( 0 right) = 0,Fleft( 2

Câu hỏi:

Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right) = x\ln \left( {x + 1} \right)\) và \(F\left( 0 \right) = 0,F\left( 2 \right) = a\ln b\) với \(a,b \in Q\). Tính \(P=a+b\)

Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = } \int {x\ln \left( {x + 1} \right)dx}  = I\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln \left( {x + 1} \right)\\
dv = xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{{x + 1}}dx\\
v = \frac{{{x^2}}}{2}
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow I = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln \left( {x + 1} \right) – \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}dx}  + C = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln \left( {x + 1} \right) – \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2} – 1 + 1}}{{x + 1}}dx} \\
 = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln \left( {x + 1} \right) – \frac{1}{2}\int {\left( {x – 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right)} dx + C\\
 = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln \left( {x + 1} \right) – \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – x + \ln \left( {x + 1} \right)} \right) + C
\end{array}\)

Với \(F(0)=0 \Rightarrow C = 0\)

\(\begin{array}{l}
F\left( 2 \right) = a\ln b \Leftrightarrow \frac{3}{2}\ln 3 = a\ln b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{3}{2}\\
b = 3
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow P = a + b = \frac{9}{2}
\end{array}\)