Cho mặt cầu (S) có bán kính R = 5 (cm).

Câu hỏi:

Cho mặt cầu (S) có bán kính R = 5 (cm). Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng \(8\pi \) (cm). Bốn điểm A, B, C, D thay đổi sao cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc (S) (D không thuộc đường tròn (C)) và tam giác ABC là tam giác đều. Thể tích lớn nhất của khối tự diện ABCD bằng bao nhiêu?

A.
\(32\sqrt 3 \left( {c{m^3}} \right)\)

B.
\(60\sqrt 3 \left( {c{m^3}} \right)\)

C.
\(20\sqrt 3 \left( {c{m^3}} \right)\)

D.
\(96\sqrt 3 \left( {c{m^3}} \right)\)

Đáp án đúng: A

Bạn đang xem: Cho mặt cầu (S) có bán kính R = 5 (cm).

Gọi I là tâm của mặt cầu (S) và H là hình chiếu của I trên (P)

Khi đó H là tâm của đường tròn (C).

Do tam giác ABC đều do đó H trọng tâm của tam giác ABC.

Đường tròn (C) có chu vi bằng \(8\pi \left( {cm} \right)\) 

Khi đó: CV = \(2\pi r \Leftrightarrow 8\pi  = 2\pi r \Leftrightarrow r = 4 = AH\) 

Ta có: \(AH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow AB = 4\sqrt 3 \) 

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = 12\sqrt 3 \) 

Thể tích khối tứ diện là:

\({V_{D.ABC}} = \frac{1}{3}d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}} = d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = 4\sqrt 3 \) 

Do đó thể tích của tứ diện ABCD lớn nhất

⇔ khoảng cách từ D đến (ABC) là lớn nhất ⇔ H, I, D thẳng hàng

Ta có: \(IH = \sqrt {{R^2} – {r^2}}  = \sqrt {{5^2} – {4^2}}  = 3\).

Khi đó \(D{H_{\max }} = DI + IH = 5 + 3 = 8\) 

Vậy \({V_{\max }} = \frac{1}{3}d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.8.12\sqrt 3  = 32\sqrt 3 \)