Giải Bài 16, 17, 18 trang 22 SGK Giải tích 12 Nâng cao: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Giải bài 16, 17, 18 trang 22 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số; Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)

Bạn đang xem: Giải Bài 16, 17, 18 trang 22 SGK Giải tích 12 Nâng cao: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(\eqalign{
& f\left( x \right) = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;- 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\; = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;= 1 – {1 \over 2}{\sin ^2}2x \cr} \)

Vì \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1\) nên: \(\,\,f\left( x \right) \le 1\) với mọi \(x \in {\mathbb{R}},f\left( 0 \right) = 1\). Vậy \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}}  = 1\)

\(*\,\,\,f\left( x \right) \ge {1 \over 2}\) với mọi \(x \in {\mathbb{R}},f\left( {{\pi  \over 4}} \right) = 1 – {1 \over 2} = {1 \over 2}\)

Vậy \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}}  = {1 \over 2}\).

Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x – 5\) trên đoạn \(\left[ { – 2;3} \right]\);

b) \(f\left( x \right) = {{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 3x – 4\) trên đoạn \(\left[ { – 4;0} \right]\);

c) \(f\left( x \right) = x + {1 \over x}\) trên đoạn \(\left( {0; + \infty } \right)\);

d) \(f\left( x \right) =  – {x^2} + 2x + 4\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\);

e) \(f\left( x \right) = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\);

f) \(f\left( x \right) = x – {1 \over x}\) trên đoạn \(\left( {0;2} \right]\);

a) \(D = \left[ { – 2;3} \right];f’\left( x \right) = 2x + 2;f’\left( x \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow  x=- 1 \in \left[ { – 2;3} \right]\)

Ta có: \(f\left( { – 2} \right) =  – 5;f\left( { – 1} \right) =  – 6;f\left( 3 \right) = 10\).

Vậy: \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { – 2;3} \right]}  =  – 6;\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,f\left( x \right) = 10}\limits_{x \in \left[ { – 2;3} \right]} \).

b)

\(D = \left[ { – 4;0} \right];\,f’\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3;f’\left( x \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 1 \in \left[ { – 4;0} \right] \hfill \cr
x = – 3 \in \left[ { – 4;0} \right] \hfill \cr} \right.\)

Ta có: \(f\left( { – 4} \right) =  – {{16} \over 3};f\left( { – 1} \right) =  – {{16} \over 3};\)

\(f\left( { – 3} \right) =  – 4;f\left( 0 \right) =  – 4\)

Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { – 4;0} \right]}  =  – {{16} \over 3};\,\,\mathop {\max \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { – 4;0} \right]}  =  – 4\).

c) \(D = \left( {0; + \infty } \right);f’\left( x \right) = 1 – {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} – 1} \over {{x^2}}}\)với mọi \(x \ne 0,f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

\(x=1\in \left\{ {0; + \infty } \right.)\)

\(x=-1\not\in \left\{ {0; + \infty } \right.)\)

\(\mathop {\min \,\,f\left( x \right) = f\left( 1 \right)}\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)}  = 2\). Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

d) \(D = \left[ {2;4} \right];f’\left( x \right) =  – 2x + 2;f’\left( x \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow x = 1 \notin \left[ {2;4} \right]\)

Ta có: \(f\left( 2 \right) = 4;f\left( 4 \right) =  – 4\)

Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]}  =  – 4;\,\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]}  = 4\).

e)

\(D = \left[ {0;1} \right];f’\left( x \right) = {{2{x^2} + 8x + 6} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}};f’\left( x \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 1 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr
x = – 3 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr} \right.\)

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = {{11} \over 3}\)

Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]}  = 2;\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]}  = {{11} \over 3}\)

f) \(D = \left( {0;2} \right];f’\left( x \right) = 1 + {1 \over {{x^2}}} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;2} \right];f\left( 2 \right) = {3 \over 2}\)

\(\mathop {\,\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]}  = {3 \over 2}\) . Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {0;2} \right]\).

Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = 2{\sin ^2}x + 2\sin x – 1\)

b) \(y = {\cos ^2}2x – \sin x\cos x + 4\)

a) Đặt \(t = \sin x, – 1 \le t \le 1\)

\(y = f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t – 1\)

Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\). Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\mathbb R\).

\(f’\left( t \right) = 4t + 2;f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  – {1 \over 2}\)

Ta có: \(f\left( { – 1} \right) =  – 1;f\left( { – {1 \over 2}} \right) =  – {3 \over 2};f\left( 1 \right) = 3\)

\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]}  =  – {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]}  = 3\)

Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  =  – {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = 3\).

b) Ta có: \(y = 1 – {\sin ^2}2x – {1 \over 2}\sin 2x + 4\)

                  \(=  – {\sin ^2}2x – {1 \over 2}\sin 2x + 5\)

Đặt \(t = \sin 2x, – 1 \le t \le 1\)

\(y = f\left( t \right) =  – {t^2} – {1 \over 2}t + 5;f’\left( t \right) =  – 2t – {1 \over 2};\)

\(f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  – {1 \over 4} \in \left[ { – 1;1} \right]\)

Ta có: \(f\left( { – 1} \right) = {9 \over 2};f\left( { – {1 \over 4}} \right) = {{81} \over {16}};f\left( 1 \right) = {7 \over 2}\)

\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]}  = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]}  = {{81} \over {16}}\)

Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = {{81} \over {16}}\).

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 16, 17, 18 trang 22 SGK Giải tích 12 Nâng cao: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số” state=”close”]Bài 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Giải bài 16, 17, 18 trang 22 SGK Giải tích 12 Nâng cao. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số; Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(\eqalign{
& f\left( x \right) = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;- 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\; = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;= 1 – {1 \over 2}{\sin ^2}2x \cr} \)

Vì \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1\) nên: \(\,\,f\left( x \right) \le 1\) với mọi \(x \in {\mathbb{R}},f\left( 0 \right) = 1\). Vậy \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}}  = 1\)

\(*\,\,\,f\left( x \right) \ge {1 \over 2}\) với mọi \(x \in {\mathbb{R}},f\left( {{\pi  \over 4}} \right) = 1 – {1 \over 2} = {1 \over 2}\)

Vậy \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}}  = {1 \over 2}\).

Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x – 5\) trên đoạn \(\left[ { – 2;3} \right]\);

b) \(f\left( x \right) = {{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 3x – 4\) trên đoạn \(\left[ { – 4;0} \right]\);

c) \(f\left( x \right) = x + {1 \over x}\) trên đoạn \(\left( {0; + \infty } \right)\);

d) \(f\left( x \right) =  – {x^2} + 2x + 4\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\);

e) \(f\left( x \right) = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\);

f) \(f\left( x \right) = x – {1 \over x}\) trên đoạn \(\left( {0;2} \right]\);

a) \(D = \left[ { – 2;3} \right];f’\left( x \right) = 2x + 2;f’\left( x \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow  x=- 1 \in \left[ { – 2;3} \right]\)

Ta có: \(f\left( { – 2} \right) =  – 5;f\left( { – 1} \right) =  – 6;f\left( 3 \right) = 10\).

Vậy: \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { – 2;3} \right]}  =  – 6;\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,f\left( x \right) = 10}\limits_{x \in \left[ { – 2;3} \right]} \).

b)

\(D = \left[ { – 4;0} \right];\,f’\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3;f’\left( x \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 1 \in \left[ { – 4;0} \right] \hfill \cr
x = – 3 \in \left[ { – 4;0} \right] \hfill \cr} \right.\)

Ta có: \(f\left( { – 4} \right) =  – {{16} \over 3};f\left( { – 1} \right) =  – {{16} \over 3};\)

\(f\left( { – 3} \right) =  – 4;f\left( 0 \right) =  – 4\)

Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { – 4;0} \right]}  =  – {{16} \over 3};\,\,\mathop {\max \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { – 4;0} \right]}  =  – 4\).

c) \(D = \left( {0; + \infty } \right);f’\left( x \right) = 1 – {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} – 1} \over {{x^2}}}\)với mọi \(x \ne 0,f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

\(x=1\in \left\{ {0; + \infty } \right.)\)

\(x=-1\not\in \left\{ {0; + \infty } \right.)\)

\(\mathop {\min \,\,f\left( x \right) = f\left( 1 \right)}\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)}  = 2\). Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

d) \(D = \left[ {2;4} \right];f’\left( x \right) =  – 2x + 2;f’\left( x \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow x = 1 \notin \left[ {2;4} \right]\)

Ta có: \(f\left( 2 \right) = 4;f\left( 4 \right) =  – 4\)

Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]}  =  – 4;\,\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]}  = 4\).

e)

\(D = \left[ {0;1} \right];f’\left( x \right) = {{2{x^2} + 8x + 6} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}};f’\left( x \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 1 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr
x = – 3 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr} \right.\)

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = {{11} \over 3}\)

Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]}  = 2;\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]}  = {{11} \over 3}\)

f) \(D = \left( {0;2} \right];f’\left( x \right) = 1 + {1 \over {{x^2}}} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;2} \right];f\left( 2 \right) = {3 \over 2}\)

\(\mathop {\,\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]}  = {3 \over 2}\) . Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {0;2} \right]\).

Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = 2{\sin ^2}x + 2\sin x – 1\)

b) \(y = {\cos ^2}2x – \sin x\cos x + 4\)

a) Đặt \(t = \sin x, – 1 \le t \le 1\)

\(y = f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t – 1\)

Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\). Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\mathbb R\).

\(f’\left( t \right) = 4t + 2;f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  – {1 \over 2}\)

Ta có: \(f\left( { – 1} \right) =  – 1;f\left( { – {1 \over 2}} \right) =  – {3 \over 2};f\left( 1 \right) = 3\)

\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]}  =  – {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]}  = 3\)

Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  =  – {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = 3\).

b) Ta có: \(y = 1 – {\sin ^2}2x – {1 \over 2}\sin 2x + 4\)

                  \(=  – {\sin ^2}2x – {1 \over 2}\sin 2x + 5\)

Đặt \(t = \sin 2x, – 1 \le t \le 1\)

\(y = f\left( t \right) =  – {t^2} – {1 \over 2}t + 5;f’\left( t \right) =  – 2t – {1 \over 2};\)

\(f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  – {1 \over 4} \in \left[ { – 1;1} \right]\)

Ta có: \(f\left( { – 1} \right) = {9 \over 2};f\left( { – {1 \over 4}} \right) = {{81} \over {16}};f\left( 1 \right) = {7 \over 2}\)

\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]}  = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]}  = {{81} \over {16}}\)

Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = {{81} \over {16}}\).

[/toggle]