Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thứ Niuton

Câu hỏi:

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \({\left( {x\sqrt x  + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^n}\), với \(x > 0\), nếu biết rằng \(C_n^2 – C_n^1 = 44\)

A.
165

Bạn đang xem: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thứ Niuton

B.
238

C.
485

D.
525

Đáp án đúng: A

Ta có \(C_n^2 – C_n^1 = 44 \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2} – n = 44 \Leftrightarrow n = 11\) hoặc \(n =  – 8\) (loại)

Với \(n = 11\), số hạng thứ \(k + 1\) trong khai triển nhị thức \({\left( {x\sqrt x  + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^{11}}\) là

\(C_{11}^k{\left( {x\sqrt x } \right)^{11 – k}}{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^k} = C_{11}^k{x^{\frac{{33}}{2} – \frac{{11}}{2}k}}\)

Theo giả thiết, ta có \(\frac{{32}}{3} – \frac{{11k}}{2} = 0\) hay \(k = 3\)

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là \(C_{11}^3 = 165\)