Giải bài tập

Ôn tập chương I – Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác: Giải bài 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 trang 47, 48 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải bài 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 trang 47, 48 – Ôn tập chương I – Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Câu 43:Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai: Các hàm số \(y = \sin x, y = \cos x\) có cùng tập xác định

Câu 43. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ?

a. Các hàm số \(y = \sin x, y = \cos x\) có cùng tập xác định.

Bạn đang xem: Ôn tập chương I – Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác: Giải bài 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 trang 47, 48 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

b. Các hàm số \(y = \tan x, y = \cot x\) có cùng tập xác định.

c. Các hàm số \(y = \sin x, y = \tan x\) là những hàm số lẻ.

d. Các hàm số \(y = \cos x, y = \cot x\) là những hàm số chẵn.

e. Các hàm số \(y = \sin x, y = \cos x\) cùng nghịch biến trên khoảng  \(\left( {{\pi \over 2};{{3\pi } \over 2}} \right)\)

f. Hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên khoảng \((-2π ; -π)\)

g. Trên mỗi khoảng mà hàm số \(y = \tan x\) đồng biến thì hàm số \(y = \cot x\) nghịch biến.

a. Đúng vì hàm số \(y = \sin x, y = \cos x\) có cùng tập xác định \(D =\mathbb R\)

b. Sai vì \(y = \tan x\) xác định \(∀x \ne {\pi \over 2} + k\pi \) còn \(y = \cot x\) xác định \(∀x ≠ kπ\)

c. Đúng

d. Sai vì \(y = \cot x\) là hàm số lẻ.

e. Sai vì \(y = \cos x\) không nghịch biến trên khoảng  \(\left( {{\pi \over 2};{{3\pi } \over 2}} \right)\)

f. Đúng

g. Sai vì trên khoảng \(\left( { – {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right)\) hàm số \(y = \tan x\) đồng biến nhưng hàm số \(y = \cot x\) không nghịch biến.


Câu 44. Xét hàm số \(y = f(x) = \sinπx\).

a. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên chẵn \(m\) ta có \(f(x + m) = f(x)\) với mọi \(x\).

b. Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn \([-1 ; 1]\).

c. Vẽ đồ thị của hàm số đó.

a. Đặt \(m = 2k, k \in\mathbb Z\). Ta có :

\(f(x + m) = \sinπ(x + m) = \sin(πx + 2kπ) = \sinπx = f(x)\)

b. Bảng biến thiên

 

c. Đồ thị


Câu 45. Đưa các biểu thức sau về dạng \(C\sin(x + α)\) :

a.  \(\sin x + \tan {\pi \over 7}\cos x\)

b.  \(\tan {\pi \over 7}\sin x + \cos x\)

a. Ta có:

\(\eqalign{
& \sin x + \tan {\pi \over 7}\cos x = \sin x + {{\sin {\pi \over 7}} \over {\cos {\pi \over 7}}}\cos x \cr
& = {1 \over {\cos {\pi \over 7}}}\left( {\sin x\cos {\pi \over 7} + \sin {\pi \over 7}\cos x} \right) \cr
& = {1 \over {\cos {\pi \over 7}}}\sin \left( {x + {\pi \over 7}} \right) \cr} \)

b.

\(\eqalign{
& \tan {\pi \over 7}\sin x + \cos x = {{\sin {\pi \over 7}} \over {\cos {\pi \over 7}}}\sin x + \cos x \cr
& = {1 \over {\cos {\pi \over 7}}}\left( {\sin x\sin {\pi \over 7} + \cos x\cos {\pi \over 7}} \right) \cr
& = {1 \over {\cos {\pi \over 7}}}\cos \left( {x – {\pi \over 7}} \right) = {1 \over {\cos {\pi \over 7}}}\sin \left( {x – {\pi \over 7} + {\pi \over 2}} \right) \cr
& = {1 \over {\cos {\pi \over 7}}}\sin \left( {x + {{5\pi } \over {14}}} \right) \cr} \) 


Câu 46. Giải các phương trình sau :

a.  \(\sin \left( {x – {{2\pi } \over 3}} \right) = \cos 2x\)

b.  \(\tan \left( {2x + 45^\circ } \right)\tan \left( {180^\circ – {x \over 2}} \right) = 1\)

c.  \(\cos 2x – {\sin ^2}x = 0\)

d.  \(5\tan x – 2\cot x = 3\)

a. Ta có:

\(\eqalign{& \sin \left( {x – {{2\pi } \over 3}} \right) = \cos 2x \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {x – {{2\pi } \over 3}} \right) = \sin \left( {{\pi \over 2} – 2x} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x – {{2\pi } \over 3} = {\pi \over 2} – 2x + k2\pi } \cr {x – {{2\pi } \over 3} = \pi – {\pi \over 2} + 2x + k2\pi } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {{7\pi } \over {18}} + k{{2\pi } \over 3}} \cr {x = – {{7\pi } \over 6} – k2\pi } \cr} } \right. \cr} \)

b. Với ĐKXĐ của phương trình ta có \(\tan(2x + 45^0) = \cot(45^0 – 2x)\) và \(\tan \left( {180^\circ – {x \over 2}} \right) = \tan \left( { – {x \over 2}} \right)\) nên :

\(\eqalign{
& \tan \left( {2x + 45^\circ } \right)\tan \left( {180^\circ – {x \over 2}} \right) = 1 \cr
& \Leftrightarrow \cot \left( {45^\circ – 2x} \right)\tan \left( { – {x \over 2}} \right) = 1 \cr
& \Leftrightarrow \tan \left( { – {x \over 2}} \right) = \tan \left( {45^\circ – 2x} \right) \cr
& \Leftrightarrow – {x \over 2} = 45^\circ – 2x + k180^\circ \cr
& \Leftrightarrow x = 30^\circ + k120^\circ ,k \in\mathbb Z \cr} \)

c. Ta có:

\(\eqalign{
& \cos 2x – {\sin ^2}x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x – {{1 – \cos 2x} \over 2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3\cos 2x – 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 3} \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \alpha \,\left( {\text{ với }\,\cos \alpha = {1 \over 3}} \right) \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {\alpha \over 2} + k\pi \,\,(k\in\mathbb Z)\cr} \)

d.

\(\eqalign{& 5\tan x – 2\cot x = 3 \cr & \Leftrightarrow 5\tan x – {2 \over {\tan x}} = 3 \cr & \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x – 3\tan x – 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = 1} \cr {\tan x = – {2 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr}k\in\mathbb Z } \right. \cr & \text{trong đó}\,\tan \alpha = – {2 \over 5} \cr} \) 


Câu 47. Giải các phương trình sau :

a.  \(\sin 2x + {\sin ^2}x = {1 \over 2}\)

b.  \(2{\sin ^2}x + 3\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0\)

c.  \({\sin ^2}{x \over 2} + \sin x – 2{\cos ^2}{x \over 2} = {1 \over 2}\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \sin 2x + {\sin ^2}x = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow \sin 2x + {1 \over 2}\left( {1 – \cos 2x} \right) = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow \sin 2x – {1 \over 2}\cos 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \tan 2x = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow 2x = \alpha + k\pi \,\text{ với }\,\tan \alpha = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow x = {\alpha \over 2} + k{\pi \over 2},\,k \in\mathbb Z \cr} \)

b.\(x = {\pi \over 2} + k\pi \) không là nghiệm phương trình.

Chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được :

\(\eqalign{& 2{\tan ^2}x + 3\tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = – 1} \cr {\tan x = – {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = – {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr} } \right.\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr & \left( {\text{ với }\,\tan \alpha = – {1 \over 2}} \right) \cr} \)

c. Ta có:

\(\eqalign{
& {\sin ^2}{x \over 2} + \sin x – 2{\cos ^2}{x \over 2} = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow {\sin ^2}{x \over 2} + 2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2} – 2{\cos ^2}{x \over 2} = {1 \over 2} \cr} \)

Với \(x\) mà \(\cos {x \over 2} = 0\) không là nghiệm phương trình.

Chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}{x \over 2}\) ta được :

\(\eqalign{& {\tan ^2}{x \over 2} + 2\tan {x \over 2} – 2 = {1 \over 2}\left( {1 + {{\tan }^2}{x \over 2}} \right) \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}{x \over 2} + 4\tan {x \over 2} – 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan {x \over 2} = 1} \cr {\tan {x \over 2} = – 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{x \over 2} = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {{x \over 2} = \alpha + k\pi } \cr} } \right.\,\left( {\text{ với }\,\tan \alpha = – 5} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 2} + k2\pi } \cr {x = 2\alpha + k2\pi } \cr} } \right.\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)


Câu 48. a. Chứng minh rằng  \(\sin {\pi \over {12}} = {{\sqrt 3 – 1} \over {2\sqrt 2 }}\)

b. Giải các phương trình \(2\sin x – 2\cos x =1 – \sqrt 3 \) bằng cách biến đổi vế trái về dạng \(C\sin(x + α)\).

c. Giải phương trình \(2\sin x – 2\cos x =1 – \sqrt 3 \) bằng cách bình phương hai vế.

a. Ta có:

\(\eqalign{
& \sin {\pi \over {12}} = \sin \left( {{\pi \over 3} – {\pi \over 4}} \right) \cr
& = \sin {\pi \over 3}\cos {\pi \over 4} – \sin {\pi \over 4}\cos {\pi \over 3} \cr
& = {{\sqrt 3 } \over 2}.{{\sqrt 2 } \over 2} – {{\sqrt 2 } \over 2}.{1 \over 2} \cr
& = {{\sqrt 6 – \sqrt 2 } \over 4} = {{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 – 1} \right)} \over 4} \cr
& = {{\sqrt 3 – 1} \over {2\sqrt 2 }} \cr} \)

b. Ta có:

\(\eqalign{& 2\sin x – 2\cos x = 1 – \sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x – {1 \over {\sqrt 2 }}\cos x = {{1 – \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \cr & \Leftrightarrow \sin x.\cos {\pi \over 4} – \sin {\pi \over 4}\cos x = – \sin {\pi \over {12}} \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {x – {\pi \over 4}} \right) = \sin \left( { – {\pi \over {12}}} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x – {\pi \over 4} = – {\pi \over {12}} + k2\pi } \cr
{x – {\pi \over 4} = \pi + {\pi \over {12}} + k2\pi } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x = {{4\pi } \over 3} + k2\pi } \cr} } \right.\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)

c. Chú ý rằng \(1 – \sqrt 3 < 0\), ta đặt điều kiện \(\sin x – \cos x < 0\) rồi bình phương hai vế của phương trình thì được :

\(\eqalign{& 4\left( {1 – \sin 2x} \right) = 4 – 2\sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow \sin 2x = {{\sqrt 3 } \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k\pi } \cr {x = {\pi \over 3} + k\pi } \cr}\,\,(k\in\mathbb Z) } \right. \cr} \)

Thử vào điều kiện \(\sin x – \cos x < 0\), ta thấy :

* Họ nghiệm \(x = {\pi \over 6} + k\pi \) thỏa mãn điều kiện \(\sin x – \cos x < 0\) khi và chỉ khi \(k\) chẵn, tức là \(x = {\pi \over 6} + 2m\pi \) với \(m \in\mathbb Z\).

* Họ nghiệm \(x = {\pi \over 3} + k\pi \) thỏa mãn điều kiện \(\sin x  – \cos x < 0\) khi và chỉ khi \(k\) lẻ, tức là \(x = {\pi \over 3} + \left( {2m + 1} \right)\pi = {{4\pi } \over 3} + 2m\pi \) với \(m \in\mathbb Z\).

Ta có kết quả như đã nêu ở câu b.


Câu 49. Giải phương trình :

\({{1 + \cos 2x} \over {\cos x}} = {{\sin 2x} \over {1 – \cos 2x}}\)

ĐKXĐ :\(\cos x \ne 0\,\text{ và }\,\cos 2x \ne 1.\) Với điều kiện đó, ta có:

\(\eqalign{& {{1 + \cos 2x} \over {\cos x}} = {{\sin 2x} \over {1 – \cos 2x}} \cr & \Leftrightarrow {{2{{\cos }^2}x} \over {\cos x}} = {{2\sin x\cos x} \over {2{{\sin }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow 1 – {1 \over {2\sin x}} = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin x = {1 \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k2\pi \,\left( \text{nhận} \right)} \cr {x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \,\left( \text{nhận} \right)} \cr} } \right. \cr} \)


Câu 50. Cho phương trình  \({{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x} \over {2\cos x – \sin x}} = \cos 2x.\)

a. Chứng minh rằng \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) nghiệm đúng phương trình.

b. Giải phương trình bằng cách đặt \(\tan x = t\) (khi \(x \ne {\pi \over 2} + k\pi \)   )

a. Thay \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) vào phương trình ta được :

\({{{{\left( { – 1} \right)}^{3k}}} \over { – {{\left( { – 1} \right)}^k}}} = \cos \pi \Leftrightarrow – 1 = – 1\) (luôn đúng)

Vậy \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) là nghiệm phương trình

b. * \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) là nghiệm phương trình.

* Với \(x \ne {\pi \over 2} + k\pi \) chia tử và mẫu của vế trái cho \({\cos ^3}x\) ta được :

\({{{{\tan }^3}x + 1} \over {2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) – \tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}} = {{1 – {{\tan }^2}x} \over {1 + {{\tan }^2}x}}\)

Đặt \(t = \tan x\) ta được :

\(\eqalign{& {{{t^3} + 1} \over {\left( {2 – t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)}} = {{1 – {t^2}} \over {1 + {t^2}}} \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = \left( {{t^2} – 1} \right)\left( {t – 2} \right) \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = {t^3} – 2{t^2} – t + 2 \cr & \Leftrightarrow 2{t^2} + t – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{t = – 1} \cr {t = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = – 1} \cr {\tan x = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = – {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr} } \right. \cr & \text{ với }\,\tan \alpha = {1 \over 2} \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm :\(x = {\pi \over 2} + k\pi ,x = – {\pi \over 4} + k\pi ,x = \alpha + k\pi \,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Ôn tập chương I – Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác: Giải bài 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 trang 47, 48 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao” state=”close”]Giải bài 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 trang 47, 48 – Ôn tập chương I – Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Câu 43:Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai: Các hàm số \(y = \sin x, y = \cos x\) có cùng tập xác định

Câu 43. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ?

a. Các hàm số \(y = \sin x, y = \cos x\) có cùng tập xác định.

b. Các hàm số \(y = \tan x, y = \cot x\) có cùng tập xác định.

c. Các hàm số \(y = \sin x, y = \tan x\) là những hàm số lẻ.

d. Các hàm số \(y = \cos x, y = \cot x\) là những hàm số chẵn.

e. Các hàm số \(y = \sin x, y = \cos x\) cùng nghịch biến trên khoảng  \(\left( {{\pi \over 2};{{3\pi } \over 2}} \right)\)

f. Hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên khoảng \((-2π ; -π)\)

g. Trên mỗi khoảng mà hàm số \(y = \tan x\) đồng biến thì hàm số \(y = \cot x\) nghịch biến.

a. Đúng vì hàm số \(y = \sin x, y = \cos x\) có cùng tập xác định \(D =\mathbb R\)

b. Sai vì \(y = \tan x\) xác định \(∀x \ne {\pi \over 2} + k\pi \) còn \(y = \cot x\) xác định \(∀x ≠ kπ\)

c. Đúng

d. Sai vì \(y = \cot x\) là hàm số lẻ.

e. Sai vì \(y = \cos x\) không nghịch biến trên khoảng  \(\left( {{\pi \over 2};{{3\pi } \over 2}} \right)\)

f. Đúng

g. Sai vì trên khoảng \(\left( { – {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right)\) hàm số \(y = \tan x\) đồng biến nhưng hàm số \(y = \cot x\) không nghịch biến.


Câu 44. Xét hàm số \(y = f(x) = \sinπx\).

a. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên chẵn \(m\) ta có \(f(x + m) = f(x)\) với mọi \(x\).

b. Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn \([-1 ; 1]\).

c. Vẽ đồ thị của hàm số đó.

a. Đặt \(m = 2k, k \in\mathbb Z\). Ta có :

\(f(x + m) = \sinπ(x + m) = \sin(πx + 2kπ) = \sinπx = f(x)\)

b. Bảng biến thiên

 

c. Đồ thị


Câu 45. Đưa các biểu thức sau về dạng \(C\sin(x + α)\) :

a.  \(\sin x + \tan {\pi \over 7}\cos x\)

b.  \(\tan {\pi \over 7}\sin x + \cos x\)

a. Ta có:

\(\eqalign{
& \sin x + \tan {\pi \over 7}\cos x = \sin x + {{\sin {\pi \over 7}} \over {\cos {\pi \over 7}}}\cos x \cr
& = {1 \over {\cos {\pi \over 7}}}\left( {\sin x\cos {\pi \over 7} + \sin {\pi \over 7}\cos x} \right) \cr
& = {1 \over {\cos {\pi \over 7}}}\sin \left( {x + {\pi \over 7}} \right) \cr} \)

b.

\(\eqalign{
& \tan {\pi \over 7}\sin x + \cos x = {{\sin {\pi \over 7}} \over {\cos {\pi \over 7}}}\sin x + \cos x \cr
& = {1 \over {\cos {\pi \over 7}}}\left( {\sin x\sin {\pi \over 7} + \cos x\cos {\pi \over 7}} \right) \cr
& = {1 \over {\cos {\pi \over 7}}}\cos \left( {x – {\pi \over 7}} \right) = {1 \over {\cos {\pi \over 7}}}\sin \left( {x – {\pi \over 7} + {\pi \over 2}} \right) \cr
& = {1 \over {\cos {\pi \over 7}}}\sin \left( {x + {{5\pi } \over {14}}} \right) \cr} \) 


Câu 46. Giải các phương trình sau :

a.  \(\sin \left( {x – {{2\pi } \over 3}} \right) = \cos 2x\)

b.  \(\tan \left( {2x + 45^\circ } \right)\tan \left( {180^\circ – {x \over 2}} \right) = 1\)

c.  \(\cos 2x – {\sin ^2}x = 0\)

d.  \(5\tan x – 2\cot x = 3\)

a. Ta có:

\(\eqalign{& \sin \left( {x – {{2\pi } \over 3}} \right) = \cos 2x \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {x – {{2\pi } \over 3}} \right) = \sin \left( {{\pi \over 2} – 2x} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x – {{2\pi } \over 3} = {\pi \over 2} – 2x + k2\pi } \cr {x – {{2\pi } \over 3} = \pi – {\pi \over 2} + 2x + k2\pi } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {{7\pi } \over {18}} + k{{2\pi } \over 3}} \cr {x = – {{7\pi } \over 6} – k2\pi } \cr} } \right. \cr} \)

b. Với ĐKXĐ của phương trình ta có \(\tan(2x + 45^0) = \cot(45^0 – 2x)\) và \(\tan \left( {180^\circ – {x \over 2}} \right) = \tan \left( { – {x \over 2}} \right)\) nên :

\(\eqalign{
& \tan \left( {2x + 45^\circ } \right)\tan \left( {180^\circ – {x \over 2}} \right) = 1 \cr
& \Leftrightarrow \cot \left( {45^\circ – 2x} \right)\tan \left( { – {x \over 2}} \right) = 1 \cr
& \Leftrightarrow \tan \left( { – {x \over 2}} \right) = \tan \left( {45^\circ – 2x} \right) \cr
& \Leftrightarrow – {x \over 2} = 45^\circ – 2x + k180^\circ \cr
& \Leftrightarrow x = 30^\circ + k120^\circ ,k \in\mathbb Z \cr} \)

c. Ta có:

\(\eqalign{
& \cos 2x – {\sin ^2}x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x – {{1 – \cos 2x} \over 2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3\cos 2x – 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 3} \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \alpha \,\left( {\text{ với }\,\cos \alpha = {1 \over 3}} \right) \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {\alpha \over 2} + k\pi \,\,(k\in\mathbb Z)\cr} \)

d.

\(\eqalign{& 5\tan x – 2\cot x = 3 \cr & \Leftrightarrow 5\tan x – {2 \over {\tan x}} = 3 \cr & \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x – 3\tan x – 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = 1} \cr {\tan x = – {2 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr}k\in\mathbb Z } \right. \cr & \text{trong đó}\,\tan \alpha = – {2 \over 5} \cr} \) 


Câu 47. Giải các phương trình sau :

a.  \(\sin 2x + {\sin ^2}x = {1 \over 2}\)

b.  \(2{\sin ^2}x + 3\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0\)

c.  \({\sin ^2}{x \over 2} + \sin x – 2{\cos ^2}{x \over 2} = {1 \over 2}\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \sin 2x + {\sin ^2}x = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow \sin 2x + {1 \over 2}\left( {1 – \cos 2x} \right) = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow \sin 2x – {1 \over 2}\cos 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \tan 2x = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow 2x = \alpha + k\pi \,\text{ với }\,\tan \alpha = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow x = {\alpha \over 2} + k{\pi \over 2},\,k \in\mathbb Z \cr} \)

b.\(x = {\pi \over 2} + k\pi \) không là nghiệm phương trình.

Chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được :

\(\eqalign{& 2{\tan ^2}x + 3\tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = – 1} \cr {\tan x = – {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = – {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr} } \right.\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr & \left( {\text{ với }\,\tan \alpha = – {1 \over 2}} \right) \cr} \)

c. Ta có:

\(\eqalign{
& {\sin ^2}{x \over 2} + \sin x – 2{\cos ^2}{x \over 2} = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow {\sin ^2}{x \over 2} + 2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2} – 2{\cos ^2}{x \over 2} = {1 \over 2} \cr} \)

Với \(x\) mà \(\cos {x \over 2} = 0\) không là nghiệm phương trình.

Chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}{x \over 2}\) ta được :

\(\eqalign{& {\tan ^2}{x \over 2} + 2\tan {x \over 2} – 2 = {1 \over 2}\left( {1 + {{\tan }^2}{x \over 2}} \right) \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}{x \over 2} + 4\tan {x \over 2} – 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan {x \over 2} = 1} \cr {\tan {x \over 2} = – 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{x \over 2} = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {{x \over 2} = \alpha + k\pi } \cr} } \right.\,\left( {\text{ với }\,\tan \alpha = – 5} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 2} + k2\pi } \cr {x = 2\alpha + k2\pi } \cr} } \right.\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)


Câu 48. a. Chứng minh rằng  \(\sin {\pi \over {12}} = {{\sqrt 3 – 1} \over {2\sqrt 2 }}\)

b. Giải các phương trình \(2\sin x – 2\cos x =1 – \sqrt 3 \) bằng cách biến đổi vế trái về dạng \(C\sin(x + α)\).

c. Giải phương trình \(2\sin x – 2\cos x =1 – \sqrt 3 \) bằng cách bình phương hai vế.

a. Ta có:

\(\eqalign{
& \sin {\pi \over {12}} = \sin \left( {{\pi \over 3} – {\pi \over 4}} \right) \cr
& = \sin {\pi \over 3}\cos {\pi \over 4} – \sin {\pi \over 4}\cos {\pi \over 3} \cr
& = {{\sqrt 3 } \over 2}.{{\sqrt 2 } \over 2} – {{\sqrt 2 } \over 2}.{1 \over 2} \cr
& = {{\sqrt 6 – \sqrt 2 } \over 4} = {{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 – 1} \right)} \over 4} \cr
& = {{\sqrt 3 – 1} \over {2\sqrt 2 }} \cr} \)

b. Ta có:

\(\eqalign{& 2\sin x – 2\cos x = 1 – \sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x – {1 \over {\sqrt 2 }}\cos x = {{1 – \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \cr & \Leftrightarrow \sin x.\cos {\pi \over 4} – \sin {\pi \over 4}\cos x = – \sin {\pi \over {12}} \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {x – {\pi \over 4}} \right) = \sin \left( { – {\pi \over {12}}} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x – {\pi \over 4} = – {\pi \over {12}} + k2\pi } \cr
{x – {\pi \over 4} = \pi + {\pi \over {12}} + k2\pi } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x = {{4\pi } \over 3} + k2\pi } \cr} } \right.\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)

c. Chú ý rằng \(1 – \sqrt 3 < 0\), ta đặt điều kiện \(\sin x – \cos x < 0\) rồi bình phương hai vế của phương trình thì được :

\(\eqalign{& 4\left( {1 – \sin 2x} \right) = 4 – 2\sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow \sin 2x = {{\sqrt 3 } \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k\pi } \cr {x = {\pi \over 3} + k\pi } \cr}\,\,(k\in\mathbb Z) } \right. \cr} \)

Thử vào điều kiện \(\sin x – \cos x < 0\), ta thấy :

* Họ nghiệm \(x = {\pi \over 6} + k\pi \) thỏa mãn điều kiện \(\sin x – \cos x < 0\) khi và chỉ khi \(k\) chẵn, tức là \(x = {\pi \over 6} + 2m\pi \) với \(m \in\mathbb Z\).

* Họ nghiệm \(x = {\pi \over 3} + k\pi \) thỏa mãn điều kiện \(\sin x  – \cos x < 0\) khi và chỉ khi \(k\) lẻ, tức là \(x = {\pi \over 3} + \left( {2m + 1} \right)\pi = {{4\pi } \over 3} + 2m\pi \) với \(m \in\mathbb Z\).

Ta có kết quả như đã nêu ở câu b.


Câu 49. Giải phương trình :

\({{1 + \cos 2x} \over {\cos x}} = {{\sin 2x} \over {1 – \cos 2x}}\)

ĐKXĐ :\(\cos x \ne 0\,\text{ và }\,\cos 2x \ne 1.\) Với điều kiện đó, ta có:

\(\eqalign{& {{1 + \cos 2x} \over {\cos x}} = {{\sin 2x} \over {1 – \cos 2x}} \cr & \Leftrightarrow {{2{{\cos }^2}x} \over {\cos x}} = {{2\sin x\cos x} \over {2{{\sin }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow 1 – {1 \over {2\sin x}} = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin x = {1 \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k2\pi \,\left( \text{nhận} \right)} \cr {x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \,\left( \text{nhận} \right)} \cr} } \right. \cr} \)


Câu 50. Cho phương trình  \({{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x} \over {2\cos x – \sin x}} = \cos 2x.\)

a. Chứng minh rằng \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) nghiệm đúng phương trình.

b. Giải phương trình bằng cách đặt \(\tan x = t\) (khi \(x \ne {\pi \over 2} + k\pi \)   )

a. Thay \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) vào phương trình ta được :

\({{{{\left( { – 1} \right)}^{3k}}} \over { – {{\left( { – 1} \right)}^k}}} = \cos \pi \Leftrightarrow – 1 = – 1\) (luôn đúng)

Vậy \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) là nghiệm phương trình

b. * \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) là nghiệm phương trình.

* Với \(x \ne {\pi \over 2} + k\pi \) chia tử và mẫu của vế trái cho \({\cos ^3}x\) ta được :

\({{{{\tan }^3}x + 1} \over {2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) – \tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}} = {{1 – {{\tan }^2}x} \over {1 + {{\tan }^2}x}}\)

Đặt \(t = \tan x\) ta được :

\(\eqalign{& {{{t^3} + 1} \over {\left( {2 – t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)}} = {{1 – {t^2}} \over {1 + {t^2}}} \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = \left( {{t^2} – 1} \right)\left( {t – 2} \right) \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = {t^3} – 2{t^2} – t + 2 \cr & \Leftrightarrow 2{t^2} + t – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{t = – 1} \cr {t = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = – 1} \cr {\tan x = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = – {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr} } \right. \cr & \text{ với }\,\tan \alpha = {1 \over 2} \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm :\(x = {\pi \over 2} + k\pi ,x = – {\pi \over 4} + k\pi ,x = \alpha + k\pi \,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)

[/toggle]

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!