Giải Bài 3.14, 3.15, 3.16 trang 178, 179 SBT Giải tích 12: Chứng minh rằng hàm số đã cho là hàm số chẵn ?

Bài 2 Tích phân SBT Toán lớp 12. Giải bài 3.14, 3.15, 3.16 trang 178, 179 Sách bài tập Giải tích 12.  Chứng minh rằng hàm số đã cho là hàm số chẵn ?

Bài 3.14: Chứng minh rằng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \int\limits_0^1 {{x^n}\sin \pi xdx = 0} \).

Bạn đang xem: Giải Bài 3.14, 3.15, 3.16 trang 178, 179 SBT Giải tích 12: Chứng minh rằng hàm số đã cho là hàm số chẵn ?

 Với \(x \in {\rm{[}}0;1]\) , ta có  \(0 \le {x^n}\sin \pi x \le {x^n}\) . Do đó:

\(0 \le \int\limits_0^1 {{x^n}\sin \pi xdx}  \le \int\limits_0^1 {{x^n}dx = {1 \over {n + 1}}} \)

Áp dụng quy tắc chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức, ta được điều phải chứng minh.

Bài 3.15: Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi \(f(x) = \int\limits_0^x {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt,x \in R\)  là hàm số chẵn.

Đặt t = – s trong tích phân:  \(f( – x) = \int\limits_0^{ – x} {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt\) , ta được:\(f( – x) = \int\limits_0^{ – x} {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt = \int\limits_0^x {{s \over {\sqrt {1 + {s^4}} }}} ds = f(x)\)

Bài 3.16: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:

\(\int\limits_{ – a}^a {f(x)dx = } \left\{ {\matrix{{2\int\limits_0^a {f(x)dx,(1)} } \cr {0,(2)} \cr} } \right.\)

(1) : nếu f là hàm số chẵn

(2): nếu f là hàm số lẻ.

Áp dụng để tính: \(\int\limits_{ – 2}^2 {\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} } )dx\)

Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a], ta có:

                      \(\int\limits_{ – a}^a {f(x)dx = \int\limits_{ – a}^0 {f(x)dx + \int\limits_0^a {f(x)dx} } } \)

Đổi biến x = – t đối với tích phân \(\int\limits_{ – a}^0 {f(x)dx} \) , ta được:

 \(\int\limits_{ – a}^0 {f(x)dx =  – \int\limits_a^0 {f( – t)dt = \int\limits_0^a {f(t)dt = \int\limits_0^a {f(x)dx} } } } \)

Vậy \(\int\limits_{ – a}^a {f(x)dx = 2\int\limits_0^a {f(x)dx} } \)

Trường hợp sau chứng minh tương tự. Áp dụng:

Vì \(g(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\)  là hàm số lẻ trên đoạn [-2; 2] nên    \(\int\limits_{ – 2}^2 {g(x)dx = 0}\)

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 3.14, 3.15, 3.16 trang 178, 179 SBT Giải tích 12: Chứng minh rằng hàm số đã cho là hàm số chẵn ?” state=”close”]
Bài 2 Tích phân SBT Toán lớp 12. Giải bài 3.14, 3.15, 3.16 trang 178, 179 Sách bài tập Giải tích 12.  Chứng minh rằng hàm số đã cho là hàm số chẵn ?

Bài 3.14: Chứng minh rằng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \int\limits_0^1 {{x^n}\sin \pi xdx = 0} \).

 Với \(x \in {\rm{[}}0;1]\) , ta có  \(0 \le {x^n}\sin \pi x \le {x^n}\) . Do đó:

\(0 \le \int\limits_0^1 {{x^n}\sin \pi xdx}  \le \int\limits_0^1 {{x^n}dx = {1 \over {n + 1}}} \)

Áp dụng quy tắc chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức, ta được điều phải chứng minh.

Bài 3.15: Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi \(f(x) = \int\limits_0^x {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt,x \in R\)  là hàm số chẵn.

Đặt t = – s trong tích phân:  \(f( – x) = \int\limits_0^{ – x} {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt\) , ta được:\(f( – x) = \int\limits_0^{ – x} {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt = \int\limits_0^x {{s \over {\sqrt {1 + {s^4}} }}} ds = f(x)\)

Bài 3.16: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:

\(\int\limits_{ – a}^a {f(x)dx = } \left\{ {\matrix{{2\int\limits_0^a {f(x)dx,(1)} } \cr {0,(2)} \cr} } \right.\)

(1) : nếu f là hàm số chẵn

(2): nếu f là hàm số lẻ.

Áp dụng để tính: \(\int\limits_{ – 2}^2 {\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} } )dx\)

Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a], ta có:

                      \(\int\limits_{ – a}^a {f(x)dx = \int\limits_{ – a}^0 {f(x)dx + \int\limits_0^a {f(x)dx} } } \)

Đổi biến x = – t đối với tích phân \(\int\limits_{ – a}^0 {f(x)dx} \) , ta được:

 \(\int\limits_{ – a}^0 {f(x)dx =  – \int\limits_a^0 {f( – t)dt = \int\limits_0^a {f(t)dt = \int\limits_0^a {f(x)dx} } } } \)

Vậy \(\int\limits_{ – a}^a {f(x)dx = 2\int\limits_0^a {f(x)dx} } \)

Trường hợp sau chứng minh tương tự. Áp dụng:

Vì \(g(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\)  là hàm số lẻ trên đoạn [-2; 2] nên    \(\int\limits_{ – 2}^2 {g(x)dx = 0}\)

[/toggle]