Giải Bài 17, 18, 19, 20 trang 112 Sách Đại số 10 nâng cao: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

 Bài 1 Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức. Giải bài 17, 18, 19, 20 trang 112 SGK Đại số lớp 10 nâng cao. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức; Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, ta có:

Câu 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(A = \sqrt {x – 1}  + \sqrt {4 – x} \)

Bạn đang xem: Giải Bài 17, 18, 19, 20 trang 112 Sách Đại số 10 nâng cao: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

Đáp án

Điều kiện: \(1 ≤ x ≤ 4\)

Với \(1 ≤ x ≤ 4\), ta có:

 \({A^2} = {(\sqrt {x – 1}  + \sqrt {4 – x} )^2} \)

   \( = 3 + 2\sqrt {(x – 1)(4 – x)}  \le 3 + x – 1 + 4 – x = 6\)

(Theo bất đẳng thức Cô-si)

Suy ra: \(A \le \sqrt 6 \)

Dấu “=” xảuy ra khi \(x – 1= 4 – x  \Rightarrow x = {5 \over 2}\)  (thỏa mãn điều kiện : \(1 ≤ x ≤ 4\))

Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\sqrt 6 \)

 \({A^2} = 3 + 2\sqrt {(x – 1)(4 – x)}  \ge 3\)

vì \(\sqrt {(x – 1)(4 – x)}  \ge 0\)

Vậy \(A \ge \sqrt 3 \)

---

Câu 18: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, ta có:

(a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

Đáp án

Ta có:

(a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

⇔ a² + b² + c² +2ab + 2bc + 2ca ≤ 3a² + 3b² + 3c²

⇔ 2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2bc – 2ca ≥ 0

⇔ (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² ≥ 0   (luôn đúng)

Vậy (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

---

Câu 19: Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là bốn số không âm thì:

 \({\left({{a + b + c + d} \over 4}\right)^4} \ge abcd\)

Đáp án

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(\eqalign{
& {{{a + b + c + d} \over 4}} \cr&= {1 \over 2}({{a + b} \over 2} + {{c + d} \over 2}) \ge {1 \over 2}(\sqrt {ab} + \sqrt {cd} )\cr& \ge \sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} } = \root 4 \of {abcd} \cr} \)

Bất đẳng thức cô si

\(⇒ {\left({{a + b + c + d} \over 4}\right)^4}\ge abcd\)

---

Câu 20: Chứng minh rằng:

a) Nếu x² + y² = 1 thì \(|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \)

b) Nếu 4x – 3y = 15 thì x² + y²  ≥ 9

a) Ta có:

(x + y)² = x² + y² + 2xy ≤ x² + y² + x² + y² = 2

⇒ \(|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \)

b) Vì 4x – 3y = 15 \( \Rightarrow y = {4 \over 3}x – 5\)

Do đó:

\(\eqalign{
& {x^2} + {y^2} = {x^2} + {({4 \over 3}x – 5)^2} \cr&= {x^2} + {{16} \over 9}{x^2} – {{40} \over 3}x + 25 \cr
& ={{25} \over 9}{x^2} – {{40} \over 3}x + 25 = {({5 \over 3}x – 4)^2} + 9 \ge 9 \cr} \)

Chú ý: Có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

a) Ta có:

\(\eqalign{
& {(x + y)^2} = {(x.1 + y.1)^2} \le ({x^2} + {y^2})({1^2} + {1^2}) = 2 \cr
& \Rightarrow |x + y| \le \sqrt 2 \cr} \)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& {15^2} = {(4x – 3y)^2} \le ({4^2} + {3^2})({x^2} + {y^2}) \cr
& \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge {{225} \over {25}} = 9 \cr} \)

Đăng bởi: Monica.vn

Chuyên mục: Giải bài tập

[toggle title=”Xem thêm Bài 17, 18, 19, 20 trang 112 Sách Đại số 10 nâng cao: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức” state=”close”] Bài 1 Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức. Giải bài 17, 18, 19, 20 trang 112 SGK Đại số lớp 10 nâng cao. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức; Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, ta có:

Câu 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(A = \sqrt {x – 1}  + \sqrt {4 – x} \)

Đáp án

Điều kiện: \(1 ≤ x ≤ 4\)

Với \(1 ≤ x ≤ 4\), ta có:

 \({A^2} = {(\sqrt {x – 1}  + \sqrt {4 – x} )^2} \)

   \( = 3 + 2\sqrt {(x – 1)(4 – x)}  \le 3 + x – 1 + 4 – x = 6\)

(Theo bất đẳng thức Cô-si)

Suy ra: \(A \le \sqrt 6 \)

Dấu “=” xảuy ra khi \(x – 1= 4 – x  \Rightarrow x = {5 \over 2}\)  (thỏa mãn điều kiện : \(1 ≤ x ≤ 4\))

Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\sqrt 6 \)

 \({A^2} = 3 + 2\sqrt {(x – 1)(4 – x)}  \ge 3\)

vì \(\sqrt {(x – 1)(4 – x)}  \ge 0\)

Vậy \(A \ge \sqrt 3 \)

---

Câu 18: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, ta có:

(a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

Đáp án

Ta có:

(a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

⇔ a² + b² + c² +2ab + 2bc + 2ca ≤ 3a² + 3b² + 3c²

⇔ 2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2bc – 2ca ≥ 0

⇔ (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² ≥ 0   (luôn đúng)

Vậy (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

---

Câu 19: Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là bốn số không âm thì:

 \({\left({{a + b + c + d} \over 4}\right)^4} \ge abcd\)

Đáp án

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(\eqalign{
& {{{a + b + c + d} \over 4}} \cr&= {1 \over 2}({{a + b} \over 2} + {{c + d} \over 2}) \ge {1 \over 2}(\sqrt {ab} + \sqrt {cd} )\cr& \ge \sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} } = \root 4 \of {abcd} \cr} \)

Bất đẳng thức cô si

\(⇒ {\left({{a + b + c + d} \over 4}\right)^4}\ge abcd\)

---

Câu 20: Chứng minh rằng:

a) Nếu x² + y² = 1 thì \(|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \)

b) Nếu 4x – 3y = 15 thì x² + y²  ≥ 9

a) Ta có:

(x + y)² = x² + y² + 2xy ≤ x² + y² + x² + y² = 2

⇒ \(|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \)

b) Vì 4x – 3y = 15 \( \Rightarrow y = {4 \over 3}x – 5\)

Do đó:

\(\eqalign{
& {x^2} + {y^2} = {x^2} + {({4 \over 3}x – 5)^2} \cr&= {x^2} + {{16} \over 9}{x^2} – {{40} \over 3}x + 25 \cr
& ={{25} \over 9}{x^2} – {{40} \over 3}x + 25 = {({5 \over 3}x – 4)^2} + 9 \ge 9 \cr} \)

Chú ý: Có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

a) Ta có:

\(\eqalign{
& {(x + y)^2} = {(x.1 + y.1)^2} \le ({x^2} + {y^2})({1^2} + {1^2}) = 2 \cr
& \Rightarrow |x + y| \le \sqrt 2 \cr} \)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& {15^2} = {(4x – 3y)^2} \le ({4^2} + {3^2})({x^2} + {y^2}) \cr
& \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge {{225} \over {25}} = 9 \cr} \)

[/toggle]