Cho hình lăng trụ ABC.ABC có thể tích bằng a3.

Câu hỏi:

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng a³. Gọi M, N, P lần lượt là tâm của các mặt bên và G là trọng tâm tam giác ABC. Thể tích của khối tứ diện GMNP bằng

A.
\(\frac{{{a^3}}}{{24}}\)

B.
\(\frac{{{a^3}}}{8}\)

C.
\(\frac{{{a^3}}}{{12}}\)

D.
\(\frac{{{a^3}}}{{16}}\)

Đáp án đúng: A

Bạn đang xem: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có thể tích bằng a3.

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}
MN\parallel A’C,MN = \frac{1}{2}A’C\\
NP\parallel A’B’,NP = \frac{1}{2}A’B’\\
PM\parallel B’C’,PM = \frac{1}{2}B’C’
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{S_{MNP}} = \frac{1}{4}{S_{A’B’C’}}\\
(MNP)\parallel (A’B’C’)
\end{array} \right.\)

Lăng trụ có đường cao:

\(h \Rightarrow d(G,(MNP)) = \frac{h}{2} \Rightarrow {V_{GMNP}} = \frac{1}{3}.\frac{h}{2}.\frac{1}{4}{S_{A’B’C’}}\)

Bài ra ta có \(h.{S_{A’B’C’}} = {a^3} \Rightarrow {V_{GMNP}} = \frac{{{a^3}}}{{24}}\)